Логарифмическая функция

Логарифмическая функция \(y = \log_a x\) (\(a \gt 0\), \(a \ne 1\)) определена при \(x \gt 0\), принимает все действительные значения, проходит через точку \((1; 0)\); при \(a \gt 1\) возрастает, при \(0 \lt a \lt 1\) убывает. Ось \(Oy\) — вертикальная асимптота. Это функция, обратная к \(a^x\): графики симметричны относительно прямой \(y = x\).

График \(y = \log_a (x + b) + c\) имеет асимптоту \(x = -b\) и проходит через точку \((1 - b; c)\).

Пример. График функции \(f(x) = \log_a (x + b)\) имеет асимптоту \(x = -3\) и проходит через точку \((5; 3)\). Найдите \(f(-2)\).
Решение. \(b = 3\); \(\log_a 8 = 3\), \(a = 2\). \(f(-2) = \log_2 1 = 0\).

Пример. Найдите область определения функции \(y = \log_{x - 1}(5 - x)\).
Решение. \(5 - x \gt 0\), \(x - 1 \gt 0\), \(x - 1 \ne 1\): \(x \in (1; 2) \cup (2; 5)\).

Пример. Сравните \(\log_{0{,}3} 5\) и \(\log_{0{,}3} 7\).
Решение. Основание меньше 1, функция убывает: \(\log_{0{,}3} 5 \gt \log_{0{,}3} 7\); оба числа отрицательны.