Показательная функция

10 заданий

Показательная функция \(y = a^x\) (\(a \gt 0\), \(a \ne 1\)) определена на всей прямой, принимает только положительные значения (\(E = (0; +\infty)\)), проходит через точку \((0; 1)\); при \(a \gt 1\) возрастает, при \(0 \lt a \lt 1\) убывает. Ось \(Ox\) — горизонтальная асимптота: при \(a \gt 1\) график прижимается к оси слева, при \(a \lt 1\) — справа. Графики \(y = a^x\) и \(y = \left(\dfrac1a\right)^x\) симметричны относительно оси \(Oy\).

Графики \(y = 2^x\) и \(y = \log_2 x\) симметричны относительно прямой \(y = x\)

График \(y = a^{x + b} + c\) — сдвиг показательной кривой: асимптота \(y = c\), «характерная» точка \((-b; 1 + c)\).

Пример. График \(f(x) = a^{x + b} + c\) имеет асимптоту \(y = -2\) и проходит через точки \((1; -1)\) и \((2; 1)\). Найдите \(f(5)\).
Решение. \(c = -2\); \(a^{1 + b} = 1\), значит, \(b = -1\); \(a^{1} = 3\). \(f(5) = 3^4 - 2 = 79\).

Пример. Сравните \(3^{\sqrt2}\) и \(3^{1{,}4}\).
Решение. Основание больше 1, функция возрастает; \(\sqrt2 \approx 1{,}414 \gt 1{,}4\), значит, \(3^{\sqrt2} \gt 3^{1{,}4}\).

Лайфхак. Показательная функция растёт быстрее любой степенной: при больших \(x\) \(2^x \gt x^{100}\). Поэтому в задачах о бактериях, вкладах и радиоактивном распаде «через несколько периодов» величина меняется в разы, а не на проценты.

Интересный факт. Число \(e \approx 2{,}718\) выделяется среди оснований тем, что касательная к графику \(y = e^x\) в точке \((0; 1)\) имеет наклон ровно 1, а производная \(e^x\) равна самой функции. Оно возникает и в «непрерывном» начислении процентов: \(\left(1 + \dfrac1n\right)^n \to e\).

Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward