Матрица системы и определитель второго порядка

Система \(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\) задаётся матрицей коэффициентов \(\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}\). Её определитель — число

\[\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1.\]

Если \(\Delta \ne 0\), решение единственно и находится по формулам Крамера: \(x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta}\), \(y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta}\), где \(\Delta_x\) и \(\Delta_y\) получаются из \(\Delta\) заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов: \(\Delta_x = c_1b_2 - c_2b_1\), \(\Delta_y = a_1c_2 - a_2c_1\).

Пример. Решите систему \(\begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ x - y = 1. \end{cases}\)
Решение. \(\Delta = 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 3 = -5\), \(\Delta_x = 7 \cdot (-1) - 1 \cdot 3 = -10\), \(\Delta_y = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 7 = -5\). \(x = 2\), \(y = 1\).

Геометрически каждое уравнение — прямая; \(\Delta \ne 0\) означает, что прямые не параллельны и пересекаются в одной точке.