Матрица системы и определитель второго порядка

11 заданий

Систему двух линейных уравнений можно записать короче — таблицей коэффициентов, матрицей. Число, вычисляемое по этой таблице, — определитель — сразу говорит, сколько решений у системы, а формулы Крамера дают сами решения.

Определения. Для системы \(\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1, \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}\) матрица системы \(\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}\), её определитель \[\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1\] («произведение по главной диагонали минус произведение по побочной»). Правило Крамера (при \(\Delta \ne 0\)): \[x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta}, \qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}, \quad \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}\] — столбец при искомой неизвестной заменяют столбцом свободных членов.

Как это работает. Решим по правилу Крамера систему \(\begin{cases} 2x + 3y = 8, \\ x - y = -1. \end{cases}\)

\(\Delta = 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 3 = -5 \ne 0\) — решение единственно.
\(\Delta_x = 8 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3 = -5\); \(\Delta_y = 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 8 = -10\).
\(x = \dfrac{-5}{-5} = 1\), \(y = \dfrac{-10}{-5} = 2\). Проверка: \(2 + 6 = 8\), \(1 - 2 = -1\). Ответ: \((1; 2)\).

Ещё пример. Вычислите определитель \(\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -3 & -4 \end{vmatrix}\).
Решение. \(3 \cdot (-4) - (-3) \cdot (-4) = -12 - 12 = -24\). Ответ: \(-24\).

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1. Вычислите определитель \(\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}\).

Определитель второго порядка — произведение элементов главной диагонали минус произведение побочной: \(2 \cdot 4 - 5 \cdot 3\).
\(8 - 15 = -7\).

Ответ: \(-7\).

Задача 2. Решите по правилу Крамера систему \(\begin{cases} 3x + 2y = 7, \\ x - 4y = -7. \end{cases}\)

Главный определитель: \(\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -12 - 2 = -14 \ne 0\) — решение единственно.
\(\Delta_x\): заменяем первый столбец свободными членами: \(\begin{vmatrix} 7 & 2 \\ -7 & -4 \end{vmatrix} = -28 + 14 = -14\). \(\Delta_y\): заменяем второй столбец: \(\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & -7 \end{vmatrix} = -21 - 7 = -28\).
\(x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = 1\), \(y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = 2\). Проверка: \(3 + 4 = 7\), \(1 - 8 = -7\).

Ответ: \((1; 2)\).

Лайфхак. Определитель меняет знак при перестановке строк и не меняется при прибавлении к строке другой строки, умноженной на число. Если строки пропорциональны, определитель равен нулю — это видно без вычислений.

Типичная ошибка. Путают порядок вычитания: \(a_1 b_2 - a_2 b_1\), а не \(a_2 b_1 - a_1 b_2\). Знак определителя важен для ответа, хотя для вопроса «равен ли нулю» он роли не играет.

На ЕГЭ. КЭС 2.11 добавлен в кодификатор 2027 года. Ожидаемые вопросы: вычислить определитель, найти неизвестное по правилу Крамера, определить, при каком значении параметра определитель равен нулю.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward