Определитель третьего порядка и число решений

Определитель \(3 \times 3\) вычисляют по правилу треугольника (Саррюса):

\[\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 - c_1b_2a_3 - b_1a_2c_3 - a_1c_2b_3.\]

Число решений системы двух линейных уравнений:

Пример. При каких \(a\) система \(\begin{cases} ax + 4y = 2, \\ x + ay = 1 \end{cases}\) имеет бесконечно много решений?
Решение. \(\Delta = a^2 - 4 = 0\) при \(a = \pm 2\). При \(a = 2\) уравнения \(2x + 4y = 2\) и \(x + 2y = 1\) совпадают — решений бесконечно много. При \(a = -2\): \(-2x + 4y = 2\) и \(x - 2y = 1\), то есть \(x - 2y = -1\) и \(x - 2y = 1\) — параллельные прямые, решений нет. Ответ: \(a = 2\).

Пример. Вычислите \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}\).
Решение. \(1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 2 + 0 - 0 - 2 \cdot 0 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \cdot 0 = 1 + 12 = 13\).