Метод координат: плоскость, углы и расстояния
Плоскость задаётся уравнением \(ax + by + cz + d = 0\), где \(\vec n(a; b; c)\) — вектор нормали (перпендикуляр к плоскости). Чтобы найти уравнение плоскости по трём точкам, подставляют их координаты и решают систему относительно \(a, b, c, d\) (одну из них можно взять равной 1).
| Величина | Формула |
|---|---|
| Угол между прямыми с направляющими \(\vec u\), \(\vec v\) | \(\cos\varphi = \dfrac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}\) |
| Угол между прямой \(\vec u\) и плоскостью с нормалью \(\vec n\) | \(\sin\varphi = \dfrac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|}\) |
| Угол между плоскостями с нормалями \(\vec n_1\), \(\vec n_2\) | \(\cos\varphi = \dfrac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}\) |
| Расстояние от точки \((x_0; y_0; z_0)\) до плоскости | \(d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\) |
Пример. В кубе с ребром 1 (координаты как в предыдущей порции) найдите расстояние от \(C_1(1; 1; 1)\) до плоскости \(A_1BD\).
Решение. Плоскость через \(A_1(0; 0; 1)\), \(B(1; 0; 0)\), \(D(0; 1; 0)\): \(x + y + z = 1\). Расстояние \(\dfrac{|1 + 1 + 1 - 1|}{\sqrt3} = \dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}\).
Пример. Найдите угол между плоскостью \(A_1BD\) и плоскостью основания \(ABC\) того же куба.
Решение. Нормали \((1; 1; 1)\) и \((0; 0; 1)\): \(\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt3}\), \(\varphi = \arccos\dfrac{\sqrt3}{3}\).
Пример. Найдите угол между прямой \(AC_1\) и плоскостью \(ABC\).
Решение. \(\vec u = (1; 1; 1)\), \(\vec n = (0; 0; 1)\): \(\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt3}\), \(\varphi = \arcsin\dfrac{\sqrt3}{3}\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward