Векторы и координаты в пространстве

В пространстве \(\vec a(x; y; z)\), \(|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), \(\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\), расстояние между точками \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\). Середина отрезка и деление в отношении — как на плоскости, с третьей координатой.

Как ввести координаты. Куб или прямоугольный параллелепипед: начало — вершина, оси — по трём рёбрам. Правильная четырёхугольная пирамида: начало — центр основания, оси — параллельно сторонам основания и по высоте. Правильная треугольная призма или пирамида: начало — вершина основания, ось \(x\) — по стороне, ось \(y\) — по высоте основания (координаты вершин \((0; 0; 0)\), \((a; 0; 0)\), \(\left(\dfrac{a}{2}; \dfrac{a\sqrt3}{2}; 0\right)\)). Правильная шестиугольная призма: начало — центр основания.

Пример. В кубе с ребром 1 введём координаты \(A(0; 0; 0)\), \(B(1; 0; 0)\), \(D(0; 1; 0)\), \(A_1(0; 0; 1)\). Найдите угол между прямыми \(AC_1\) и \(BD\).
Решение. \(\overrightarrow{AC_1} = (1; 1; 1)\), \(\overrightarrow{BD} = (-1; 1; 0)\); скалярное произведение \(-1 + 1 + 0 = 0\) — прямые перпендикулярны, угол \(90^\circ\).

Пример. Найдите угол между рёбрами \(AB_1\) и \(BC_1\) того же куба.
Решение. \(\overrightarrow{AB_1} = (1; 0; 1)\), \(\overrightarrow{BC_1} = (0; 1; 1)\); \(\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt2 \cdot \sqrt2} = \dfrac12\), \(\varphi = 60^\circ\).