Векторы на плоскости

Вектор — направленный отрезок; векторы равны, если у них одинаковые длина и направление. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) с началом \(A(x_1; y_1)\) и концом \(B(x_2; y_2)\) имеет координаты «конец минус начало»: \((x_2 - x_1; y_2 - y_1)\). Длина \(|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2}\). Сложение, вычитание и умножение на число выполняются покоординатно; геометрически сумма — по правилу треугольника или параллелограмма.

Скалярное произведение:

\[\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\varphi = x_1x_2 + y_1y_2.\]

• \(\vec a \perp \vec b \iff \vec a \cdot \vec b = 0\);
• \(\vec a \parallel \vec b \iff\) координаты пропорциональны: \(x_1 y_2 = x_2 y_1\);
• \(\cos\varphi = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2}{|\vec a||\vec b|}\);
• \(|\vec a + \vec b|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2\vec a \cdot \vec b\), \(\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2\).

Середина отрезка \(AB\): \(\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\). Точка \(M\) делит \(AB\) в отношении \(AM : MB = m : n\), если \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{m}{m + n}\overrightarrow{AB}\).

Пример. Даны векторы \(\vec a(2; 2)\) и \(\vec b(2; -2)\). Найдите длину вектора \(\vec a + 7\vec b\).
Решение. \(\vec a + 7\vec b = (2 + 14; 2 - 14) = (16; -12)\), длина \(\sqrt{256 + 144} = 20\).

Пример. Найдите косинус угла между векторами \(\vec a(1; 2)\) и \(\vec b(3; -1)\).
Решение. \(\cos\varphi = \dfrac{3 - 2}{\sqrt5 \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{1}{5\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{10}\).

Пример. Стороны правильного треугольника \(ABC\) равны 2. Найдите \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\).
Решение. \(2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2\); угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) — внешний, \(120^\circ\): произведение \(-2\).