Метод координат в стереометрии

11 заданий

Метод координат заменяет построения вычислениями: вершины тела получают координаты, прямые задаются векторами, плоскости — уравнениями, а углы и расстояния считаются по формулам. Это универсальный способ для пункта б) задания 15, особенно в кубе, прямоугольном параллелепипеде и правильных призмах.

Формулы. Угол между прямыми с направляющими векторами \(\vec a\), \(\vec b\): \(\cos\varphi = \dfrac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec a||\vec b|}\). Плоскость \(Ax + By + Cz + D = 0\) с нормалью \(\vec n = (A; B; C)\). Угол между прямой и плоскостью: \(\sin\varphi = \dfrac{|\vec a \cdot \vec n|}{|\vec a||\vec n|}\). Угол между плоскостями: \(\cos\varphi = \dfrac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}\). Расстояние от точки \(M_0\) до плоскости: \[d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.\] Уравнение плоскости по трём точкам — подстановкой координат в \(Ax + By + Cz + D = 0\) (система относительно \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)) или через векторное произведение.

Как это работает. В кубе с ребром 1 найдём расстояние от вершины \(D_1\) до плоскости \(ACB_1\) методом координат.

Координаты: \(A(0; 0; 0)\), \(C(1; 1; 0)\), \(B_1(1; 0; 1)\), \(D_1(0; 1; 1)\). Плоскость через \(A\): \(D = 0\). Подставляем \(C\): \(A + B = 0\); \(B_1\): \(A + C = 0\). Берём \(A = 1\): \(B = -1\), \(C = -1\). Уравнение: \(x - y - z = 0\).
Расстояние: \(d = \dfrac{|0 - 1 - 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt3}\).
\(d = \dfrac{2\sqrt3}{3}\) — вдвое больше расстояния от \(B\) (центр куба лежит между \(B\) и \(D_1\) и делит отрезок пополам). Ответ: \(\dfrac{2\sqrt3}{3}\).

Ещё пример. Найдите угол между плоскостями \(ACB_1\) и \(ABCD\) куба.
Решение. Нормали: \(\vec n_1 = (1; -1; -1)\), \(\vec n_2 = (0; 0; 1)\). \(\cos\varphi = \dfrac{|-1|}{\sqrt3 \cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt3}\). Ответ: \(\arccos\dfrac{\sqrt3}{3}\).

Лайфхак. Оформление задания 15: пункт а) — доказательство с указанием признаков и теорем; пункт б) — «введём систему координат: … », координаты всех нужных точек, векторы, формула, вычисление, ответ. Эксперты принимают координатный метод полностью, если координаты и формулы записаны явно.

Типичная ошибка. Для угла между прямой и плоскостью используют косинус вместо синуса: нормаль перпендикулярна плоскости, поэтому угол вектора прямой с нормалью дополняет искомый до \(90^\circ\).

На ЕГЭ. Задание 15 оценивается в 3 балла: 1 — за пункт а), 2 — за пункт б). Метод координат особенно надёжен для правильных призм и пирамид, где координаты вершин выражаются через сторону основания и высоту.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward