Расстояния в пространстве

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Если перпендикуляр трудно построить, помогают два приёма.

• Метод объёмов. Точку считают вершиной пирамиды, основание которой лежит в плоскости. Объём находят другим способом, и тогда \(d = \dfrac{3V}{S_{осн}}\).
• Метод координат. Расстояние от точки \((x_0; y_0; z_0)\) до плоскости \(ax + by + cz + d = 0\) равно \(\dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\).

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра. Чаще его находят иначе: через одну из прямых проводят плоскость, параллельную другой прямой, и ищут расстояние от любой точки второй прямой до этой плоскости.

Пример. В единичном кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) найдите расстояние от вершины \(A\) до плоскости \(A_1BD\).
Решение. Пирамида \(AA_1BD\): \(V = \dfrac13 \cdot S_{ABD} \cdot AA_1 = \dfrac13 \cdot \dfrac12 \cdot 1 = \dfrac16\). Треугольник \(A_1BD\) равносторонний со стороной \(\sqrt2\), его площадь \(\dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 2 = \dfrac{\sqrt3}{2}\). \(d = \dfrac{3V}{S} = \dfrac{1/2}{\sqrt3/2} = \dfrac{\sqrt3}{3}\).

Пример. В том же кубе найдите расстояние от \(C_1\) до плоскости \(A_1BD\).
Решение. Плоскость \(x + y + z - 1 = 0\), точка \(C_1(1; 1; 1)\): \(d = \dfrac{|1 + 1 + 1 - 1|}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}\).

Пример. В кубе с ребром \(a\) найдите расстояние между прямыми \(AA_1\) и \(BD_1\).
Решение. Прямая \(AA_1\) параллельна плоскости \(BB_1D_1D\), которая содержит \(BD_1\). Расстояние от \(A\) до этой плоскости — половина диагонали \(AC\) основания, то есть \(\dfrac{a\sqrt2}{2}\).