Расстояния в пространстве

10 заданий

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра. Его находят либо построением перпендикуляра (через теорему о трёх перпендикулярах), либо через объём пирамиды, либо координатами. Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра, равная расстоянию от одной прямой до параллельной ей плоскости, содержащей вторую.

Способы. Объём: для пирамиды с вершиной \(M\) и основанием \(ABC\): \(d(M, ABC) = \dfrac{3V}{S_{ABC}}\), а объём считают по другому основанию. Построение: опустить перпендикуляр из точки на ребро двугранного угла, затем на плоскость. Параллельный перенос: если \(MN \parallel \alpha\), расстояния от всех точек \(MN\) до \(\alpha\) равны — можно взять удобную точку. Скрещивающиеся прямые: через одну провести плоскость, параллельную другой; расстояние от любой точки второй прямой до этой плоскости. В кубе с ребром \(a\): между скрещивающимися рёбрами \(a\); между ребром и диагональю грани, его не пересекающей, \(\dfrac{a\sqrt2}{2}\); между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю грани \(\dfrac{a\sqrt6}{6}\).

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра; удобно считать через объём пирамиды

Как это работает. В кубе с ребром 1 найдём расстояние от вершины \(B\) до плоскости \(ACB_1\).

Объём пирамиды \(BACB_1\) с вершиной \(B_1\) и основанием \(ABC\): \(V = \dfrac13 \cdot \dfrac12 \cdot 1 = \dfrac16\).
Треугольник \(ACB_1\) равносторонний со стороной \(\sqrt2\): \(S = \dfrac{(\sqrt2)^2\sqrt3}{4} = \dfrac{\sqrt3}{2}\).
\(d = \dfrac{3V}{S} = \dfrac{\dfrac12}{\dfrac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}\). Ответ: \(\dfrac{\sqrt3}{3}\).

Ещё пример. В кубе с ребром 1 найдите расстояние между прямыми \(AA_1\) и \(BD\).
Решение. Прямая \(AA_1\) перпендикулярна плоскости основания, в которой лежит \(BD\). Общий перпендикуляр — отрезок из \(A\) к \(BD\) в плоскости основания, перпендикулярный \(BD\): половина диагонали \(AC\), то есть \(\dfrac{\sqrt2}{2}\). Ответ: \(\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1 (задание 15, пункт б). В кубе с ребром 1 найдите расстояние от вершины \(A\) до плоскости \(BB_1D_1D\).

Плоскость \(BB_1D_1D\) содержит диагональ \(BD\) и перпендикулярна основанию. Перпендикуляр из \(A\) на эту плоскость лежит в плоскости основания и является перпендикуляром из \(A\) на \(BD\).
В квадрате это половина диагонали \(AC\): \(\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Задача 2 (задание 15, пункт б). В кубе с ребром 1 найдите расстояние между прямыми \(AB\) и \(C_1D_1\).

Прямые параллельны (обе параллельны \(DC\)), расстояние между ними — длина общего перпендикуляра. \(BC_1 \perp AB\) (так как \(AB \perp\) грани \(BCC_1B_1\)) и \(BC_1 \perp C_1D_1\) по той же причине.
\(BC_1\) — диагональ грани: \(\sqrt2\).

Ответ: \(\sqrt2\).

Лайфхак. Метод объёмов спасает, когда перпендикуляр не видно: посчитайте объём пирамиды двумя способами. Для расстояния между скрещивающимися прямыми ищите плоскость, параллельную одной прямой и содержащей другую, — в кубе это обычно грань или диагональное сечение.

Типичная ошибка. Принимают за расстояние длину любого отрезка между точками прямых или от точки до плоскости по наклонной. Расстояние — только перпендикуляр, кратчайший из всех отрезков.

На ЕГЭ. Задание 15, пункт б): «найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(ACB_1\)», «расстояние между прямыми». Полный балл требует обоснования, что найденный отрезок — именно перпендикуляр.

Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward