Угол между плоскостями

11 заданий

Две пересекающиеся плоскости образуют двугранный угол; его величина — линейный угол: угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведёнными в каждой плоскости из одной точки ребра. Угол между плоскостями — тот из двух смежных двугранных углов, что не больше \(90^\circ\).

Линейный угол двугранного угла: два перпендикуляра к ребру из одной точки

Алгоритм. 1) Найти линию пересечения плоскостей (ребро). 2) Выбрать точку на ребре и провести к нему перпендикуляры в обеих плоскостях — часто это высоты равнобедренных треугольников или апофемы. 3) Найти угол между перпендикулярами из треугольника. Способ через проекцию: \(\cos\varphi = \dfrac{S_{\text{проекции}}}{S}\) — площадь ортогональной проекции фигуры равна площади фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями. Плоскости перпендикулярны, если одна содержит перпендикуляр к другой.

Как это работает. В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания 6, высота 4. Найдём угол между боковой гранью \(SBC\) и основанием.

Ребро двугранного угла — \(BC\). В основании перпендикуляр к \(BC\) из его середины \(M\) идёт в центр \(O\): \(OM = 3\). В грани — апофема \(SM \perp BC\).
Линейный угол — \(\angle SMO\) в прямоугольном треугольнике \(SOM\): \(\operatorname{tg}\angle SMO = \dfrac{SO}{OM} = \dfrac43\).
\(\varphi = \operatorname{arctg}\dfrac43\) (около \(53^\circ\)). Ответ: \(\operatorname{arctg}\dfrac43\).

Ещё пример. Найдите угол между плоскостью \(ABC_1\) и основанием \(ABCD\) куба с ребром 1.
Решение. Ребро угла — \(AB\). Перпендикуляры к \(AB\): \(BC\) в основании и \(BC_1\) в плоскости сечения (\(AB \perp BC_1\), так как \(AB \perp\) грани \(BCC_1B_1\)). Угол \(C_1BC = 45^\circ\) (квадрат). Ответ: \(45^\circ\).

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1 (задание 15, пункт б). В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, высота равна 3. Найдите тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания.

Пусть \(O\) — центр основания, \(M\) — середина стороны \(BC\). \(OM \perp BC\) и \(SM \perp BC\) (апофема), поэтому \(\angle SMO\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(BC\).
\(OM = 4\) (половина стороны), \(SO = 3\): \(\operatorname{tg}\angle SMO = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\). Апофема при этом равна 5.

Ответ: 0,75.

Задача 2 (задание 15, пункт б). Найдите угол между плоскостью \(A_1B_1CD\) и плоскостью основания \(ABCD\) куба.

Плоскости пересекаются по прямой \(CD\). В плоскости основания \(BC \perp CD\); в плоскости \(A_1B_1CD\) прямая \(B_1C \perp CD\) (так как \(CD \perp\) грани \(BCC_1B_1\)). Линейный угол — \(\angle B_1CB\).
Треугольник \(B_1BC\) прямоугольный равнобедренный: угол \(45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).

Лайфхак. В правильной пирамиде угол между боковой гранью и основанием всегда \(\angle SMO\), где \(M\) — середина стороны основания: \(\operatorname{tg} = \dfrac{h}{r}\), \(r\) — радиус вписанной в основание окружности. Угол между боковым ребром и основанием: \(\operatorname{tg} = \dfrac{h}{R}\).

Типичная ошибка. Берут линейный угол из перпендикуляров, проведённых из разных точек ребра, или не перпендикулярных ребру (например, угол между боковым ребром и диагональю основания). Оба отрезка — из одной точки, оба перпендикулярны ребру.

На ЕГЭ. Задание 15, пункт б): «найдите угол между плоскостями \(SBC\) и \(ABC\)», «между плоскостью сечения и основанием». Метод проекции (\(\cos\varphi = \dfrac{S'}{S}\)) часто короче построения линейного угла.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward