Угол между плоскостями

Две пересекающиеся плоскости образуют двугранные углы. Мерой двугранного угла служит его линейный угол: из точки \(O\) на ребре \(l\) проводят в каждой плоскости перпендикуляры к ребру, угол между ними и есть линейный угол. Углом между плоскостями называют меньший из двугранных углов, он от \(0^\circ\) до \(90^\circ\).

Построить линейный угол помогает теорема о трёх перпендикулярах: из точки \(A\) одной плоскости опускают перпендикуляр \(AH\) на другую, из \(H\) — перпендикуляр \(HK\) к линии пересечения; тогда \(AK\) тоже перпендикулярна линии пересечения, и \(\angle AKH\) — линейный угол. Ещё два способа: площадь проекции \(S_{пр} = S \cos\varphi\) и координаты: \(\cos\varphi = \dfrac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}\), где \(\vec n_1\), \(\vec n_2\) — нормали к плоскостям.

Пример. В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания 6, высота 4. Найдите тангенс угла между боковой гранью и основанием.
Решение. \(O\) — центр основания, \(M\) — середина \(AB\). \(OM \perp AB\) и \(SM \perp AB\), поэтому \(\angle SMO\) — линейный угол. \(OM = 3\), \(\operatorname{tg}\angle SMO = \dfrac{SO}{OM} = \dfrac43\).

Пример. В единичном кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) найдите косинус угла между плоскостью \(A_1BD\) и плоскостью основания.
Решение. Плоскость через \(A_1(0; 0; 1)\), \(B(1; 0; 0)\), \(D(0; 1; 0)\) имеет уравнение \(x + y + z = 1\), нормаль \((1; 1; 1)\). Нормаль основания \((0; 0; 1)\). \(\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}\).