Угол между прямой и плоскостью

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен \(90^\circ\); если параллельна или лежит в ней — \(0^\circ\). Угол между прямой и плоскостью всегда от \(0^\circ\) до \(90^\circ\).

Порядок действий: из точки \(A\) прямой опускаем перпендикуляр \(AH\) на плоскость, соединяем основание перпендикуляра с точкой \(B\) пересечения прямой и плоскости. В прямоугольном треугольнике \(ABH\): \(\sin\varphi = \dfrac{AH}{AB}\), \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{AH}{BH}\). Если перпендикуляр построить трудно, достаточно знать расстояние \(d\) от точки \(A\) до плоскости: \(\sin\varphi = \dfrac{d}{AB}\).

Пример. В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания 3, боковое ребро \(3\sqrt2\). Найдите угол между диагональю \(B_1D\) и плоскостью основания.
Решение. \(BB_1\) перпендикулярно основанию, поэтому \(BD\) — проекция \(B_1D\). \(BD = 3\sqrt2\), \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{BB_1}{BD} = 1\), \(\varphi = 45^\circ\).

Пример. В единичном кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) найдите угол между прямой \(AB_1\) и плоскостью \(ABC_1\).
Решение. Координаты: \(A(0; 0; 0)\), \(B(1; 0; 0)\), \(C_1(1; 1; 1)\), \(B_1(1; 0; 1)\). Нормаль к плоскости \(ABC_1\): \(\vec n = (0; -1; 1)\) (перпендикулярна векторам \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC_1}\)). Направление прямой \(\vec a = (1; 0; 1)\). \(\sin\varphi = \dfrac{|\vec n \cdot \vec a|}{|\vec n| \cdot |\vec a|} = \dfrac{1}{\sqrt2 \cdot \sqrt2} = \dfrac12\), \(\varphi = 30^\circ\).