Угол между прямой и плоскостью

11 заданий

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на плоскость. Чтобы его найти, из точки на прямой опускают перпендикуляр на плоскость, строят проекцию и решают получившийся прямоугольный треугольник.

Угол между прямой и плоскостью — угол между наклонной AB и её проекцией A_1B — Угол между прямой и плоскостью — угол между наклонной \(AB\) и её проекцией \(A_1B\)

Алгоритм. 1) Выбрать на прямой точку \(A\) (не лежащую в плоскости) и точку \(B\) пересечения прямой с плоскостью. 2) Опустить из \(A\) перпендикуляр \(AA_1\) на плоскость. 3) Искомый угол \(\varphi = \angle ABA_1\), причём \[\sin\varphi = \dfrac{AA_1}{AB}, \qquad \operatorname{tg}\varphi = \dfrac{AA_1}{A_1B}.\] Если прямая параллельна плоскости, угол равен \(0\); если перпендикулярна — \(90^\circ\).

Как это работает. В кубе с ребром 1 найдём угол между диагональю \(AC_1\) и плоскостью основания \(ABCD\).

Точка \(C_1\) проецируется в \(C\): перпендикуляр \(C_1C = 1\). Проекция диагонали — \(AC = \sqrt2\).
\(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{CC_1}{AC} = \dfrac{1}{\sqrt2}\); иначе \(\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt3}\), так как \(AC_1 = \sqrt3\).
\(\varphi = \operatorname{arctg}\dfrac{1}{\sqrt2} \approx 35{,}3^\circ\). Ответ: \(\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Ещё пример. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6, боковое ребро 5. Найдите синус угла между боковым ребром и плоскостью основания.
Решение. Проекция ребра — половина диагонали основания: \(3\sqrt2\). Высота \(h = \sqrt{25 - 18} = \sqrt7\). \(\sin\varphi = \dfrac{h}{5} = \dfrac{\sqrt7}{5}\). Ответ: \(\dfrac{\sqrt7}{5}\).

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1 (задание 15, пункт б). В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) найдите угол между диагональю грани \(AB_1\) и плоскостью основания \(ABCD\).

Проекция \(AB_1\) на плоскость основания — ребро \(AB\) (точка \(B_1\) проецируется в \(B\), так как \(BB_1 \perp (ABC)\)). Искомый угол — \(\angle B_1AB\).
Треугольник \(ABB_1\) прямоугольный и равнобедренный (катеты — рёбра куба): угол \(45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).

Задача 2 (задание 15, пункт б). В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, боковое ребро равно 6. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Проекция бокового ребра \(SA\) — отрезок \(AO\) от вершины основания до центра квадрата, половина диагонали: \(AO = \dfrac{6\sqrt2}{2} = 3\sqrt2\).
\(\cos\angle SAO = \dfrac{AO}{SA} = \dfrac{3\sqrt2}{6} = \dfrac{\sqrt2}{2}\), угол \(45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).

Лайфхак. В ответе задания 15 угол оставляют в виде \(\operatorname{arctg}\), \(\arcsin\) или \(\arccos\) точного значения — считать градусы не нужно. Выбирайте функцию по известным сторонам: катеты — тангенс, катет и гипотенуза — синус или косинус.

Типичная ошибка. Берут угол между прямой и произвольной прямой плоскости, а не проекцией. Угол с проекцией — наименьший из всех таких углов, именно он и называется углом с плоскостью.

На ЕГЭ. Задание 15, пункт б): «найдите угол между прямой \(SC\) и плоскостью \(ABC\)», «найдите угол между диагональю куба и гранью». Ответ — точное значение тригонометрической функции угла или сам угол через арк-функцию.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward