Углы и расстояния в пространстве
| Величина | Как найти |
|---|---|
| Угол между скрещивающимися прямыми | перенести одну прямую параллельно до пересечения с другой (часто через середину ребра или вершину); угол от \(0^\circ\) до \(90^\circ\) |
| Угол между прямой и плоскостью | угол между прямой и её проекцией на плоскость: опустить перпендикуляр из точки прямой |
| Угол между плоскостями | линейный угол двугранного угла: два перпендикуляра к линии пересечения в одной точке, по одному в каждой плоскости |
| Расстояние от точки до плоскости | длина перпендикуляра; или через объём: \(d = \dfrac{3V}{S}\) для пирамиды с вершиной в точке |
| Расстояние от прямой до параллельной плоскости | расстояние от любой точки прямой до плоскости |
| Расстояние между скрещивающимися прямыми | длина общего перпендикуляра; или расстояние от одной прямой до плоскости, параллельной ей и содержащей другую |
Пример. В кубе с ребром \(a\) найдите угол между прямыми \(AB_1\) и \(BC_1\).
Решение. \(BC_1 \parallel AD_1\), угол между \(AB_1\) и \(AD_1\) — угол треугольника \(AB_1D_1\), который равносторонний (все стороны — диагонали граней). Ответ: \(60^\circ\).
Пример. В кубе с ребром \(a\) найдите расстояние от вершины \(C_1\) до плоскости \(A_1BD\).
Решение. Диагональ \(AC_1\) перпендикулярна плоскости \(A_1BD\) и делится ею в отношении \(1 : 2\), считая от \(A\). Поэтому расстояние \(\dfrac23 AC_1 = \dfrac{2a\sqrt3}{3}\).
Пример. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 2. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.
Решение. Вершина проецируется в центр квадрата; половина диагонали \(\sqrt2\), \(\cos\varphi = \dfrac{\sqrt2}{2}\), \(\varphi = 45^\circ\).
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward