Перпендикулярность и теорема о трёх перпендикулярах

• Признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости; тогда она перпендикулярна любой прямой плоскости.
• Теорема о трёх перпендикулярах: наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, тогда и только тогда, когда этой прямой перпендикулярна проекция наклонной.
• Признак перпендикулярности плоскостей: плоскость, проходящая через перпендикуляр к другой плоскости, перпендикулярна ей.
• Если две плоскости перпендикулярны, то прямая одной из них, перпендикулярная линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости.

Пример. В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) докажите, что скрещивающиеся рёбра \(SA\) и \(BC\) перпендикулярны.
Решение. Пусть \(M\) — середина \(BC\). \(AM \perp BC\) (медиана равностороннего треугольника) и \(SM \perp BC\) (медиана равнобедренного треугольника \(SBC\)). Значит, \(BC \perp\) плоскости \(SAM\), а потому \(BC \perp SA\).

Пример. В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) докажите, что \(BD \perp A_1C\).
Решение. Проекция наклонной \(A_1C\) на плоскость \(ABC\) — диагональ \(AC\), а \(AC \perp BD\). По теореме о трёх перпендикулярах \(A_1C \perp BD\).

Пример. Основание пирамиды \(SABCD\) — квадрат, ребро \(SA\) перпендикулярно основанию. Докажите, что \(BC \perp\) плоскости \(SAB\) и что плоскости \(SAB\) и \(SBC\) перпендикулярны.
Решение. \(BC \perp AB\) (квадрат) и \(BC \perp SA\) (\(SA\) перпендикулярно всей плоскости основания), значит, \(BC \perp\) плоскости \(SAB\); плоскость \(SBC\), содержащая \(BC\), перпендикулярна \(SAB\).