Параллельность прямых и плоскостей

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными (лежат в одной плоскости и не пересекаются) или скрещиваться (не лежат в одной плоскости). Прямая и плоскость либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо прямая лежит в плоскости. Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны.

• Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая параллельна какой-нибудь прямой плоскости, она параллельна плоскости.
• Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой, плоскости параллельны.
• Свойство: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна данной прямой. Две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым.
• Признак скрещивающихся прямых: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, прямые скрещиваются.

Пример. В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) докажите, что прямая \(A_1C_1\) параллельна плоскости \(ABC\).
Решение. \(A_1C_1 \parallel AC\) (диагонали равных квадратов в параллельных гранях, \(AA_1C_1C\) — прямоугольник), а \(AC\) лежит в плоскости \(ABC\). По признаку прямая параллельна плоскости.

Пример. Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(SA\) и \(SB\) пирамиды \(SABC\). Докажите, что \(MN \parallel\) плоскости \(ABC\).
Решение. \(MN\) — средняя линия треугольника \(SAB\), \(MN \parallel AB\), а \(AB\) лежит в плоскости основания.