Метод рационализации
Замена множителей. На ОДЗ знак каждого из выражений слева совпадает со знаком выражения справа:
| Множитель | Заменяется на | Условие |
|---|---|---|
| \(\log_a f - \log_a g\) | \((a - 1)(f - g)\) | \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), \(f, g \gt 0\) |
| \(\log_a f\) | \((a - 1)(f - 1)\) | то же |
| \(a^f - a^g\) | \((a - 1)(f - g)\) | \(a \gt 0\) |
| \(f^h - g^h\) | \((f - g) \cdot h\) | \(f, g \gt 0\) |
| \(|f| - |g|\) | \((f - g)(f + g)\) | — |
Основание может зависеть от \(x\) — в этом главная сила метода: неравенство с переменным основанием решается методом интервалов без разбора случаев \(a \gt 1\) и \(a \lt 1\).
Пример. Решите неравенство \(\log_x (2x - 1) \gt 0\).
Решение. ОДЗ: \(x \gt \dfrac12\), \(x \ne 1\). Заменяем \(\log_x(2x - 1)\) на \((x - 1)(2x - 1 - 1) = 2(x - 1)^2\): \(2(x - 1)^2 \gt 0\), то есть \(x \ne 1\). Ответ: \(\left(\dfrac12; 1\right) \cup (1; +\infty)\).
Пример. Решите неравенство \(\dfrac{\log_3 (x + 2)}{\log_{x + 2} 3 \cdot (x - 1)} \le 0\).
Решение. ОДЗ: \(x \gt -2\), \(x \ne -1\) (основание \(x + 2 \ne 1\)), \(x \ne 1\). Так как \(\log_{x + 2} 3 = \dfrac{1}{\log_3 (x + 2)}\), левая часть равна \(\dfrac{\log_3^2 (x + 2)}{x - 1}\). Квадрат неотрицателен, поэтому дробь не больше нуля при \(x \lt 1\) (числитель в нуль не обращается: точка \(x = -1\) вне ОДЗ). Ответ: \((-2; -1) \cup (-1; 1)\).
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward