Метод рационализации

11 заданий

Метод рационализации заменяет на ОДЗ выражение со знакопеременной функцией на алгебраическое выражение того же знака. Логарифм и показательная функция исчезают, и неравенство решают методом интервалов. Важно: замена законна только на области определения, которую записывают отдельно.

Таблица замен (на ОДЗ: \(f, g, h \gt 0\), \(h \ne 1\)): \[\log_h f - \log_h g \;\sim\; (h - 1)(f - g), \qquad \log_h f \;\sim\; (h - 1)(f - 1),\] \[h^f - h^g \;\sim\; (h - 1)(f - g), \qquad |f| - |g| \;\sim\; (f - g)(f + g).\] Знак «\(\sim\)» означает «имеет тот же знак». Число \(b\) предварительно записывают как \(\log_h h^b\).

Как это работает. Решим неравенство \(\log_{x + 1}(2x - 1) \le 1\).

ОДЗ: \(x + 1 \gt 0\), \(x + 1 \ne 1\), \(2x - 1 \gt 0\), то есть \(x \gt \dfrac12\).
Записываем \(1 = \log_{x + 1}(x + 1)\) и рационализируем: \((x + 1 - 1)\big((2x - 1) - (x + 1)\big) \le 0\), то есть \(x(x - 2) \le 0\).
Решение: \(0 \le x \le 2\). С ОДЗ: \(\dfrac12 \lt x \le 2\). Ответ: \(\left(\dfrac12; 2\right]\).

Ещё пример. Решите неравенство \(\dfrac{\log_3(x + 2) - 1}{x - 5} \ge 0\).
Решение. ОДЗ: \(x \gt -2\), \(x \ne 5\). \(\log_3(x + 2) - 1 = \log_3(x + 2) - \log_3 3 \sim (3 - 1)(x + 2 - 3) \sim x - 1\). Неравенство: \(\dfrac{x - 1}{x - 5} \ge 0\), то есть \(x \le 1\) или \(x \gt 5\). С ОДЗ: \((-2; 1] \cup (5; +\infty)\). Ответ: \((-2; 1] \cup (5; +\infty)\).

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1. Решите неравенство \(\log_x(x + 2) \gt 1\).

ОДЗ: \(x \gt 0\), \(x \ne 1\), \(x + 2 \gt 0\); итого \(x \gt 0\), \(x \ne 1\).
Записываем 1 как \(\log_x x\) и переносим: \(\log_x(x + 2) - \log_x x \gt 0\). Рационализация: знак разности логарифмов совпадает со знаком \((x - 1)\big((x + 2) - x\big) = 2(x - 1)\).
\(2(x - 1) \gt 0\), \(x \gt 1\) — в пределах ОДЗ.

Ответ: \((1; +\infty)\).

Задача 2. Решите неравенство \(\big(\log_2(x + 1) - 2\big)(x - 5) \le 0\).

ОДЗ: \(x \gt -1\).
\(\log_2(x + 1) - 2 = \log_2(x + 1) - \log_2 4\), основание больше 1 — знак совпадает со знаком \((x + 1) - 4 = x - 3\).
\((x - 3)(x - 5) \le 0\), \(3 \le x \le 5\); отрезок целиком в ОДЗ.

Ответ: \([3; 5]\).

Лайфхак. Рационализация особенно хороша для переменного основания: вместо разбора случаев \(h \gt 1\) и \(0 \lt h \lt 1\) появляется множитель \((h - 1)\), который учитывает оба случая сразу. Для постоянного основания \(a \gt 1\) множитель \((a - 1)\) положителен, и его можно опустить.

Типичная ошибка. Применяют рационализацию без записи ОДЗ: замена верна только там, где все логарифмы существуют. Без ОДЗ в ответ попадают точки вроде \(x = 0\), где исходное выражение не определено.

На ЕГЭ. Метод рационализации — признанный способ решения задания 15; эксперты принимают его без доказательства формул, если записана ОДЗ и указано, что замена сделана «на ОДЗ». Это самый быстрый путь для неравенств с переменным основанием.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward