Логарифмические неравенства

\(\log_a f \gt \log_a g\) при \(a \gt 1\) равносильно системе \(f \gt g \gt 0\), при \(0 \lt a \lt 1\) — системе \(0 \lt f \lt g\). ОДЗ выписывают сразу: все аргументы положительны, основания положительны и не равны 1. Число справа превращают в логарифм: \(2 = \log_3 9\).

Пример. Решите неравенство \(\log_2 (x - 3) \lt 3\).
Решение. ОДЗ \(x \gt 3\); \(\log_2(x - 3) \lt \log_2 8\), \(x - 3 \lt 8\), \(x \lt 11\). Ответ: \((3; 11)\).

Пример. Решите неравенство \(\log_{\dfrac13}(x^2 - 4x + 3) \ge -1\).
Решение. Основание меньше 1: \(0 \lt x^2 - 4x + 3 \le 3\). Левое: \(x \lt 1\) или \(x \gt 3\); правое: \(x^2 - 4x \le 0\), \(0 \le x \le 4\). Ответ: \([0; 1) \cup (3; 4]\).

Пример. Решите неравенство \(\log_5^2 x - 3\log_5 x + 2 \le 0\).
Решение. ОДЗ \(x \gt 0\); \(t = \log_5 x\): \((t - 1)(t - 2) \le 0\), \(1 \le t \le 2\), \(5 \le x \le 25\).