Показательные неравенства

При \(a \gt 1\) функция \(a^t\) возрастает: \(a^{f(x)} \gt a^{g(x)} \iff f(x) \gt g(x)\). При \(0 \lt a \lt 1\) — убывает, и знак неравенства меняется: \(\left(\dfrac13\right)^{f} \ge 3 = \left(\dfrac13\right)^{-1} \iff f \le -1\).

Пример. Решите неравенство \(2^{x^2 - 3x} \lt 16\).
Решение. \(2^{x^2 - 3x} \lt 2^4\), основание больше 1: \(x^2 - 3x - 4 \lt 0\), \((x - 4)(x + 1) \lt 0\). Ответ: \((-1; 4)\).

Пример. Решите неравенство \(0{,}2^{2x - 1} \ge 25\).
Решение. \(5^{1 - 2x} \ge 5^2\), основание больше 1: \(1 - 2x \ge 2\), \(x \le -0{,}5\).

Пример. Решите неравенство \(25^x - 130 \cdot 5^x + 625 \ge 0\).
Решение. \(t = 5^x \gt 0\): \(t^2 - 130t + 625 \ge 0\), \((t - 5)(t - 125) \ge 0\), \(t \le 5\) или \(t \ge 125\). Отсюда \(x \le 1\) или \(x \ge 3\).

Неравенство с дробью после замены решают методом интервалов, не забывая условие \(t \gt 0\): \(\dfrac{4^x - 6 \cdot 2^x + 8}{2^x - 1} \le 0\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{(t - 2)(t - 4)}{t - 1} \le 0\), \(t \lt 1\) или \(2 \le t \le 4\); с \(t \gt 0\): \(0 \lt t \lt 1\) даёт \(x \lt 0\), а \(2 \le t \le 4\) даёт \(1 \le x \le 2\).