Модуль и параметр: графики-«уголки». Оформление задания 19

11 заданий

Функция \(y = |x - a|\) — «уголок» с вершиной в точке \((a; 0)\); \(y = |f(x)|\) получается отражением отрицательной части графика \(f\) вверх. Уравнения с модулем и параметром решают графически: рисуют неподвижный график, двигают прямую или уголок и считают точки пересечения.

График \(y = |f(x)|\): часть графика ниже оси абсцисс отражается вверх; горизонтальная прямая \(y = a\) пересекает его в разном числе точек

Что помнить. \(y = |x - a| + b\) — уголок с вершиной \((a; b)\), ветви под \(45^\circ\). \(y = |f(x)|\) — отражение. \(y = f(|x|)\) — правая половина графика \(f\) и её зеркальное отражение. Число корней уравнения \(|f(x)| = a\): прямая \(y = a\) пересекает отражённый график; особые значения \(a\) — высоты вершин и нулей. Оформление 19: рисунок с подписями, разбор каждого критического значения параметра, явный ответ.

Как это работает. При каких \(a\) уравнение \(|x^2 - 1| = a\) имеет ровно три корня?

График \(y = |x^2 - 1|\): парабола \(y = x^2 - 1\), часть ниже оси (между \(-1\) и \(1\)) отражена вверх; получается «буква W» с вершиной отражённой части в точке \((0; 1)\) и нулями в \(\pm 1\).
Прямая \(y = a\): при \(a \lt 0\) — нет точек; \(a = 0\) — две точки (\(\pm 1\)); \(0 \lt a \lt 1\) — четыре; \(a = 1\) — три (прямая проходит через вершину \((0; 1)\) и пересекает ветви); \(a \gt 1\) — две.
Ответ: \(a = 1\).

Ещё пример. При каких \(a\) уравнение \(|x - 2| + |x + 2| = a\) имеет бесконечно много решений?
Решение. Сумма расстояний от \(x\) до точек 2 и \(-2\) равна 4 для всех \(x\) на отрезке \([-2; 2]\) и больше 4 вне его. График — горизонтальный отрезок на высоте 4 с двумя лучами. Бесконечно много решений только при \(a = 4\). Ответ: \(a = 4\).

Лайфхак. У суммы модулей \(|x - p| + |x - q|\) график всегда «корыто»: дно на высоте \(|p - q|\) между точками \(p\) и \(q\), ветви наклона \(\pm 2\). У разности модулей — «ступенька». Запомнив эти формы, задачи с суммой модулей решают за минуту.

Типичная ошибка. Пропускают граничные значения параметра (прямая через вершину или через нуль графика). Именно в них число корней меняется — и именно о них спрашивает задача.

На ЕГЭ. Критерии задания 19: 4 балла — обоснованно получен верный ответ; 3 — ответ верен, но нет проверки одного случая или не исключено одно значение; 2 — верно рассмотрен один из двух случаев; 1 — верно найден хотя бы один «особый» случай. Даже частичное решение с рисунком приносит баллы.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward