Симметрия: необходимое условие и проверка

11 заданий

Если выражение не меняется при замене \(x\) на \(-x\) (или \(x\) на \(2 - x\), \(x\) на \(\dfrac1x\)), то вместе с каждым решением \(x_0\) есть и симметричное. Единственное решение возможно только в центре симметрии. Это даёт кандидатов на параметр, но каждого кандидата нужно проверить: условие необходимое, но не достаточное.

График чётной функции симметричен относительно оси \(Oy\): единственный корень может быть только при \(x = 0\)

Схема. 1) Заметить симметрию: если \(x_0\) — решение, то и \(-x_0\) — решение. 2) Необходимость: единственное решение — только \(x_0 = 0\); подставить \(x = 0\) и найти кандидатов \(a\). 3) Достаточность: для каждого кандидата решить уравнение полностью и убедиться, что решение действительно единственно. 4) В ответ записать только проверенные значения.

Как это работает. При каких \(a\) уравнение \(x^4 + a|x| = a^2 - 2\) имеет единственное решение?

Левая часть не меняется при замене \(x \to -x\): с каждым корнем \(x_0\) есть корень \(-x_0\). Единственный корень — только \(x = 0\).
Подставляем \(x = 0\): \(0 = a^2 - 2\), \(a = \pm\sqrt2\).
Проверка. При \(a = \sqrt2\): \(x^4 + \sqrt2|x| = 0\) — сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только при \(x = 0\): единственный корень. При \(a = -\sqrt2\): \(x^4 - \sqrt2|x| = 0\), \(|x|(|x|^3 - \sqrt2) = 0\) — корни \(x = 0\) и \(x = \pm\sqrt[6]{2}\): три корня, не подходит. Ответ: \(a = \sqrt2\).

Ещё пример. При каких \(a\) система \(\begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ |x| + |y| = 2 \end{cases}\) имеет ровно четыре решения?
Решение. Второе уравнение — квадрат с вершинами \((\pm 2; 0)\), \((0; \pm 2)\); первое — окружность радиуса \(\sqrt a\). Четыре решения — когда окружность проходит через вершины (\(\sqrt a = 2\), \(a = 4\)) или касается сторон (расстояние от центра до стороны \(\sqrt2\), \(a = 2\)). Ответ: \(a = 2\); \(a = 4\).

Лайфхак. Симметрия бывает не только \(x \to -x\): уравнение с \(x^2 - 4x\) симметрично относительно \(x = 2\) (замена \(x \to 4 - x\)), система с \(x\) и \(y\) в симметричных ролях — относительно прямой \(y = x\). Ищите центр или ось симметрии и подставляйте неподвижную точку.

Типичная ошибка. Остановиться после необходимого условия и записать в ответ обоих кандидатов. Половина из них обычно не подходит — проверка обязательна и оценивается отдельным баллом.

На ЕГЭ. «Найдите все \(a\), при которых уравнение имеет единственное решение» с чётной функцией — классика задания 19. Оформление: «пусть \(x_0\) — решение, тогда \(-x_0\) — тоже решение; значит, \(x_0 = 0\)…», затем проверка каждого значения.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward