Графический метод: прямая и окружность

Систему с параметром часто удобнее нарисовать: каждое уравнение — линия на плоскости, решения системы — точки пересечения. Параметр двигает одну из линий, и нужно увидеть, при каких положениях точек пересечения ровно столько, сколько требуется.

Как это работает. При каких \(a\) система \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = x + a \end{cases}\) имеет ровно одно решение?

1. Окружность с центром в начале координат и радиусом 1; прямая \(x - y + a = 0\) с параметром \(a\) — семейство параллельных прямых.
2. Одно решение — касание: расстояние от центра до прямой равно радиусу: \(\dfrac{|a|}{\sqrt2} = 1\), \(|a| = \sqrt2\).
3. Ответ: \(a = \pm\sqrt2\). Проверка: при \(a = 0\) прямая проходит через центр — две точки, при \(a = 2\) — ни одной.

Ещё пример. При каких \(a\) уравнение \(\sqrt{4 - x^2} = a\) имеет ровно два корня?
Решение. График \(y = \sqrt{4 - x^2}\) — верхняя полуокружность радиуса 2. Горизонтальная прямая \(y = a\) пересекает её в двух точках при \(0 \le a \lt 2\): при \(a = 2\) — касание в вершине (один корень), при \(a = 0\) — концы диаметра (два корня). Ответ: \([0; 2)\).