Расположение корней относительно точки

Часто спрашивают не о числе корней, а о том, где они лежат: оба больше числа \(m\), по разные стороны от \(m\), на отрезке. Такие условия удобно переводить на язык графика параболы: знак трёхчлена в точке \(m\), положение вершины, знак дискриминанта.

Как это работает. При каких \(a\) число 1 лежит между корнями уравнения \(x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0\)?

1. Ветви вверх. Число 1 между корнями тогда и только тогда, когда \(f(1) \lt 0\).
2. \(f(1) = 1 - 2a + a^2 - 4 = a^2 - 2a - 3 \lt 0\), то есть \((a - 3)(a + 1) \lt 0\), \(-1 \lt a \lt 3\).
3. Дискриминант проверять не нужно: если \(f(1) \lt 0\), корни есть. Ответ: \((-1; 3)\).

Ещё пример. При каких \(a\) оба корня уравнения \(x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0\) больше 2?
Решение. Корни: \(x = a \pm 1\) (так как \(\dfrac D4 = 1\)). Оба больше 2, если меньший \(a - 1 \gt 2\), то есть \(a \gt 3\). Через правила: \(f(2) = 4 - 4a + a^2 - 1 = (a - 1)(a - 3) \gt 0\) и \(x_в = a \gt 2\) — тоже \(a \gt 3\). Ответ: \((3; +\infty)\).