Теорема Виета и условия на корни

11 заданий

Если в задаче сказано что-то о корнях — их сумме, произведении, знаках, — не нужно находить сами корни. Теорема Виета переводит условие на корни в уравнение или неравенство относительно параметра. Нужно только не забыть, что корни должны существовать.

Таблица условий (для \(x^2 + px + q = 0\), \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\)): корни разных знаков \(\iff q \lt 0\); оба положительны \(\iff D \ge 0\), \(q \gt 0\), \(-p \gt 0\); оба отрицательны \(\iff D \ge 0\), \(q \gt 0\), \(-p \lt 0\); \(x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q\); \(|x_1 - x_2| = \sqrt D\). Любое условие вида «сумма (произведение) корней равна…» — одно уравнение на параметр плюс проверка \(D \ge 0\).

Как это работает. При каких \(a\) корни уравнения \(x^2 - (a + 5)x + 5a = 0\) имеют разные знаки и произведение \(-10\)?

Произведение корней по Виета равно \(5a\). Условие \(5a = -10\) даёт \(a = -2\).
Разные знаки означают \(5a \lt 0\), что при \(a = -2\) выполнено; дискриминант при отрицательном произведении положителен автоматически.
Проверка: \(x^2 - 3x - 10 = 0\), корни 5 и \(-2\). Ответ: \(a = -2\).

Ещё пример. При каких \(a\) сумма квадратов корней уравнения \(x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0\) равна 10?
Решение. \(\dfrac D4 = a^2 - a^2 + 1 = 1 \gt 0\) — корни есть при любом \(a\). \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 4a^2 - 2(a^2 - 1) = 2a^2 + 2 = 10\), \(a^2 = 4\), \(a = \pm 2\). Ответ: \(\pm 2\).

Лайфхак. Всякий раз, когда условие симметрично относительно корней (сумма, произведение, сумма квадратов, сумма обратных), работает Виета без нахождения корней. Несимметричное условие («один корень вдвое больше другого») тоже переводят: \(x_2 = 2x_1\), тогда \(3x_1 = -p\), \(2x_1^2 = q\).

Типичная ошибка. Получают значение параметра из Виета и не проверяют \(D \ge 0\): при найденном \(a\) корней может не быть вовсе, и условие «сумма корней равна…» теряет смысл.

На ЕГЭ. Условие задания 19 «уравнение имеет два различных положительных корня» — это система \(D \gt 0\), \(x_1 x_2 \gt 0\), \(x_1 + x_2 \gt 0\), записанная через коэффициенты. Решать её нужно как систему неравенств относительно параметра.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward