Квадратное уравнение с параметром: число корней
Число корней квадратного уравнения определяется знаком дискриминанта. Если параметр входит в коэффициенты, дискриминант становится выражением от параметра, и задача сводится к неравенству или уравнению относительно параметра. Отдельно проверяют случай, когда старший коэффициент обращается в нуль.
Правило. Для \(a x^2 + b x + c = 0\) с \(a \ne 0\): два корня \(\iff D \gt 0\); один корень \(\iff D = 0\); нет корней \(\iff D \lt 0\). Если старший коэффициент содержит параметр и может быть нулём, при таком значении уравнение становится линейным — его разбирают отдельно.
Как это работает. При каких значениях \(p\) уравнение \(x^2 + 4x + p = 0\) имеет ровно один корень?
- Дискриминант: \(D = 16 - 4p\).
- Один корень при \(D = 0\): \(16 - 4p = 0\), \(p = 4\).
- Проверка: \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 = 0\), корень \(x = -2\). Ответ: \(p = 4\).
Ещё пример. При каких \(a\) уравнение \((a - 1)x^2 + 2x + 1 = 0\) имеет ровно один корень?
Решение. При \(a = 1\) уравнение линейное: \(2x + 1 = 0\), один корень. При \(a \ne 1\): \(\dfrac D4 = 1 - (a - 1) = 2 - a = 0\), \(a = 2\). Ответ: \(a = 1\); \(a = 2\).
Лайфхак. Условие «не меньше одного корня» (\(D \ge 0\)) и «корни разных знаков» (\(\dfrac{c}{a} \lt 0\), тогда \(D \gt 0\) автоматически) — два самых частых вопроса. Во втором дискриминант проверять не нужно: произведение корней отрицательно только при положительном дискриминанте.
Типичная ошибка. Забывают случай нулевого старшего коэффициента: для \((a - 1)x^2 + 2x + 1 = 0\) теряют \(a = 1\). Уравнение «квадратное с параметром» может оказаться линейным.
На ЕГЭ. В задании 19 после замены \(t = 2^x\) или \(t = \sin x\) получается квадратное уравнение с параметром, и число корней исходного уравнения зависит от числа и расположения корней \(t\). Разбор по дискриминанту — его первая часть.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward