Что такое параметр. Линейное уравнение с параметром

11 заданий

Параметр — это буква в уравнении, которая обозначает известное, но не указанное число. Уравнение с параметром — это семейство уравнений, по одному на каждое значение параметра. Решить его — значит для каждого значения параметра указать решения; чаще спрашивают, при каких значениях параметра решений столько-то.

Правило. Уравнение \(a x = b\) с параметром \(a\): при \(a \ne 0\) — единственный корень \(x = \dfrac{b}{a}\); при \(a = 0\) и \(b \ne 0\) — корней нет; при \(a = 0\) и \(b = 0\) — корень любое число. Ключевое действие: не делить на выражение с параметром, не рассмотрев случай, когда оно равно нулю.

Как это работает. При каких значениях \(a\) уравнение \((a + 1)x = 3\) не имеет корней?

Коэффициент при \(x\) равен \(a + 1\). Если \(a + 1 \ne 0\), корень \(x = \dfrac{3}{a + 1}\) существует.
Если \(a + 1 = 0\), то есть \(a = -1\), уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 3\) — корней нет.
Ответ: \(a = -1\).

Ещё пример. При каких \(a\) уравнение \(a^2 x - a = 4x - 2\) имеет бесконечно много корней?
Решение. Переносим: \((a^2 - 4)x = a - 2\). Бесконечно много корней при \(a^2 - 4 = 0\) и \(a - 2 = 0\) одновременно, то есть при \(a = 2\). При \(a = -2\) получаем \(0 \cdot x = -4\) — корней нет. Ответ: \(a = 2\).

Лайфхак. Начинайте с «особых» значений параметра — тех, при которых обращается в нуль коэффициент при старшей степени \(x\) или знаменатель. Разберите их отдельно, а потом переходите к общему случаю. Ответ записывайте по случаям: «при \(a = \ldots\) — …, при остальных \(a\) — …».

Типичная ошибка. Делят обе части на \(a + 1\) и пишут «\(x = \dfrac{3}{a + 1}\) при всех \(a\)». При \(a = -1\) деление невозможно, и этот случай теряется.

На ЕГЭ. Задание 19 (4 балла) — задача с параметром. Линейные уравнения с параметром в чистом виде там не встречаются, но разбор особых значений — первый шаг любого решения: при каком \(a\) старший коэффициент равен нулю, при каком — знаменатель.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward