Монотонность, ограниченность и предел

Последовательность возрастает, если \(a_{n + 1} \gt a_n\) для всех \(n\), убывает — если \(a_{n + 1} \lt a_n\). Проверяют знак разности \(a_{n + 1} - a_n\) или (для положительных членов) отношение \(\dfrac{a_{n + 1}}{a_n}\) с единицей. Последовательность ограничена, если все её члены лежат на некотором отрезке.

Пример. Исследуйте на монотонность \(a_n = \dfrac{n}{n + 1}\).
Решение. \(a_{n + 1} - a_n = \dfrac{n + 1}{n + 2} - \dfrac{n}{n + 1} = \dfrac{(n + 1)^2 - n(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)} = \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} \gt 0\) — возрастает; при этом \(a_n \lt 1\) — ограничена.

Предел последовательности — число \(A\), к которому члены подходят сколь угодно близко с ростом \(n\): \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\). Так \(\dfrac{n}{n + 1} \to 1\), \(\dfrac{1}{n} \to 0\), \(q^n \to 0\) при \(|q| \lt 1\). Возрастающая ограниченная сверху последовательность всегда имеет предел.

Пример. Найдите \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 + 1}{n^2 - 5n}\).
Решение. Разделим числитель и знаменатель на \(n^2\): \(\dfrac{3 + \dfrac{1}{n^2}}{1 - \dfrac{5}{n}} \to \dfrac{3}{1} = 3\).