Способы задания последовательности

11 заданий

Числовая последовательность — это функция натурального аргумента: каждому номеру \(n = 1, 2, 3, \dots\) сопоставлено число \(a_n\). Задать последовательность можно формулой \(n\)-го члена, рекуррентной формулой (через предыдущие члены) или описанием.

Способы. 1) Формула n-го члена: \(a_n = 2n - 1\) даёт \(1, 3, 5, 7, \dots\); любой член вычисляется сразу. 2) Рекуррентная формула: \(a_1 = 2\), \(a_{n + 1} = 3a_n - 1\) даёт \(2, 5, 14, 41, \dots\); каждый член считают по предыдущему. 3) Знаменитая рекуррентная последовательность — числа Фибоначчи: \(a_1 = a_2 = 1\), \(a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n\): \(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots\)

Как это работает. Последовательность задана формулой \(a_n = \dfrac{n^2 - 1}{n + 2}\). Найдём \(a_1\), \(a_5\) и выясним, есть ли в ней член, равный 3.

\(a_1 = \dfrac{0}{3} = 0\); \(a_5 = \dfrac{24}{7}\).
Уравнение \(\dfrac{n^2 - 1}{n + 2} = 3\): \(n^2 - 1 = 3n + 6\), \(n^2 - 3n - 7 = 0\), \(D = 9 + 28 = 37\) — корни иррациональны.
Натурального \(n\) нет: члена, равного 3, в последовательности нет. Ответ: 0; \(\dfrac{24}{7}\); нет.

Ещё пример. Последовательность задана условиями \(b_1 = 5\), \(b_{n + 1} = b_n + 2n\). Найдите \(b_4\).
Решение. \(b_2 = 5 + 2 = 7\), \(b_3 = 7 + 4 = 11\), \(b_4 = 11 + 6 = 17\). Ответ: 17.

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1. Последовательность задана формулой \(a_n = 3n - 2\). Найдите \(a_1\), \(a_{10}\) и номер члена, равного 25.

\(a_1 = 3 - 2 = 1\), \(a_{10} = 30 - 2 = 28\).
Уравнение \(3n - 2 = 25\): \(n = 9\) — натуральное, значит, такой член есть: \(a_9 = 25\).

Ответ: 1; 28; \(n = 9\).

Задача 2. Последовательность задана рекуррентно: \(c_1 = 2\), \(c_{n + 1} = 2c_n - 1\). Найдите \(c_4\).

Каждый следующий член получается из предыдущего: \(c_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3\), \(c_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5\), \(c_4 = 2 \cdot 5 - 1 = 9\).

Ответ: 9.

Лайфхак. Чтобы проверить, принадлежит ли число последовательности, приравняйте формулу \(n\)-го члена этому числу и решите уравнение относительно \(n\): подходит только натуральный корень. Нецелый или отрицательный корень означает «нет».

Типичная ошибка. В рекуррентной формуле \(b_{n + 1} = b_n + 2n\) подставляют номер нового члена вместо номера предыдущего: \(b_2 = b_1 + 2 \cdot 2\). Индекс \(n\) в прибавке — тот же, что у \(b_n\).

На ЕГЭ. Последовательности в явном виде — редкий гость профиля, но прогрессии (тема 3.8) и задание 13 (долг по годам задаётся рекуррентно: \(S_{n + 1} = S_n \cdot 1{,}1 - x\)) целиком строятся на этом языке.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward