Способы задания последовательности

Последовательность — функция натурального аргумента: каждому номеру \(n = 1, 2, 3, \ldots\) сопоставлено число \(a_n\). Её задают:

• формулой общего члена: \(a_n = n^2 - 1\) даёт \(0, 3, 8, 15, \ldots\);
• рекуррентно — через предыдущие члены и начальные условия: \(a_1 = 1\), \(a_{n + 1} = 2a_n + 1\) даёт \(1, 3, 7, 15, \ldots\); последовательность Фибоначчи \(F_1 = F_2 = 1\), \(F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_n\);
• описанием: последовательность простых чисел \(2, 3, 5, 7, 11, \ldots\)

Пример. Последовательность задана условиями \(a_1 = 1\), \(a_{n + 1} = 2a_n + 1\). Найдите формулу общего члена.
Решение. Члены \(1, 3, 7, 15, 31\) на единицу меньше степеней двойки: \(a_n = 2^n - 1\). Проверка: \(2(2^n - 1) + 1 = 2^{n + 1} - 1\).

Пример. Найдите \(a_{10}\), если \(a_n = \dfrac{n + 1}{n}\).
Решение. \(a_{10} = \dfrac{11}{10} = 1{,}1\).