Монотонность по знаку производной

Если \(f'(x) \gt 0\) на промежутке, функция на нём возрастает; если \(f'(x) \lt 0\) — убывает. Точки, где производная равна нулю или не существует, называют критическими; они делят область определения на промежутки постоянного знака производной.

Алгоритм: 1) найти \(f'(x)\); 2) найти критические точки; 3) расставить знаки \(f'\) методом интервалов; 4) записать промежутки возрастания и убывания (концы-критические точки включают).

Пример. Найдите промежутки возрастания функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1\).
Решение. \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1)\). Производная положительна при \(x \lt -1\) и \(x \gt 3\). Функция возрастает на \((-\infty; -1]\) и \([3; +\infty)\), убывает на \([-1; 3]\).

Как читать график производной. Выше оси — функция возрастает, ниже — убывает. Вопрос «сколько целых точек, в которых функция убывает» — это подсчёт целых чисел на промежутках, где график производной ниже оси. Вопрос «в какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение» решают по знаку: если производная на отрезке положительна — в правом конце.

Пример. На рисунке изображён график \(y = f'(x)\) на \((-5; 6)\); производная положительна на \((-5; -2)\) и \((1; 6)\), отрицательна на \((-2; 1)\). Найдите количество целых точек, в которых функция \(f\) убывает.
Решение. Убывание — там, где \(f' \lt 0\): \((-2; 1)\). Целые точки \(-1\) и \(0\). Ответ: 2.