Экстремумы

11 заданий

В точке экстремума производная равна нулю или не существует (необходимое условие). Но экстремум есть, только если производная меняет знак при переходе через точку: с «+» на «−» — максимум, с «−» на «+» — минимум (достаточное условие). У \(y = x^3\) производная \(3x^2\) равна нулю при \(x = 0\), но знак не меняет — экстремума нет.

В точках максимума и минимума касательная горизонтальна

Пример. Найдите точку минимума функции \(y = x^3 - 12x + 5\).
Решение. \(y' = 3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2)\). Знаки: \(+\) при \(x \lt -2\), \(-\) на \((-2; 2)\), \(+\) при \(x \gt 2\). Минимум там, где знак меняется с «−» на «+»: \(x = 2\).

Пример. Найдите точку максимума функции \(y = (x + 4)^2(x - 5) + 3\).
Решение. По правилу произведения \(y' = 2(x + 4)(x - 5) + (x + 4)^2 = (x + 4)(2x - 10 + x + 4) = (x + 4)(3x - 6)\). Нули \(-4\) и \(2\); знак меняется с «+» на «−» в точке \(-4\). Ответ: \(-4\).

По графику производной: точки экстремума — нули \(f'\) со сменой знака; максимум — где график производной пересекает ось сверху вниз, минимум — снизу вверх. Касание оси без смены знака экстремумом не является.

Лайфхак. Для функции вида \(e^{x}(\ldots)\), \(\ln x - x\) или \(x^2 - 8x + 7\ln x\) выносите общий множитель в производной сразу: \((x - 7)e^{x - 7}\), \(\dfrac{(x - 1)(x - 7)}{x}\). Знак множителя \(e^{\ldots}\) или \(x \gt 0\) на экстремумы не влияет.

Как это спрашивают на ЕГЭ. Задание 9: точка максимума или минимума функции, заданной формулой (\(\sqrt{x^2 - 6x + 13}\), \((x - 3)^2 e^{x - 7}\), \(7 + 12x - x^3\)); количество точек экстремума по графику производной.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward