Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

11 заданий

Непрерывная функция на отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений либо в критических точках внутри отрезка, либо на его концах. Поэтому достаточно вычислить функцию в нескольких точках и выбрать из полученных чисел наибольшее и наименьшее.

Алгоритм. 1) Найти \(f'(x)\) и критические точки. 2) Отобрать те, что лежат внутри отрезка. 3) Вычислить \(f\) в отобранных точках и на концах отрезка. 4) Наибольшее из чисел — наибольшее значение, наименьшее — наименьшее. Если критических точек на отрезке нет, функция монотонна, и ответ — на концах. Если точка экстремума единственная внутри отрезка, можно обойтись без концов: минимум даёт наименьшее значение, максимум — наибольшее.

Наибольшее значение на отрезке — либо в точке экстремума внутри, либо на конце отрезка

Как это работает. Найдём наибольшее значение функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\) на отрезке \([-2; 2]\).

\(f'(x) = 3(x - 3)(x + 1)\); критические точки \(-1\) и 3; внутри отрезка только \(-1\).
Вычисляем: \(f(-2) = -8 - 12 + 18 + 5 = 3\); \(f(-1) = 10\); \(f(2) = 8 - 12 - 18 + 5 = -17\).
Наибольшее значение 10. Ответ: 10.

Ещё пример. Найдите наименьшее значение функции \(y = e^{2x} - 4e^x + 3\) на отрезке \([-1; 2]\).
Решение. \(y' = 2e^{2x} - 4e^x = 2e^x(e^x - 2)\); нуль при \(e^x = 2\), \(x = \ln 2 \approx 0{,}69\) — внутри отрезка; слева производная отрицательна, справа положительна — минимум. \(y(\ln 2) = 4 - 8 + 3 = -1\). Ответ: \(-1\).

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1 (задание 17). Найдите наибольшее значение функции \(y = x^3 - 3x^2 + 2\) на отрезке \([-1; 3]\).

\(y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\), критические точки 0 и 2 — обе внутри отрезка.
Считаем значения в критических точках и на концах: \(y(-1) = -1 - 3 + 2 = -2\); \(y(0) = 2\); \(y(2) = 8 - 12 + 2 = -2\); \(y(3) = 27 - 27 + 2 = 2\).
Наибольшее из них 2 (достигается в двух точках, но в ответ идёт само значение).

Ответ: 2.

Задача 2 (задание 17). Найдите наименьшее значение функции \(y = 4x - 4\ln(x + 7) + 6\) на отрезке \([-6{,}5; 0]\).

\(y' = 4 - \dfrac{4}{x + 7}\). Нуль: \(\dfrac{4}{x + 7} = 4\), \(x + 7 = 1\), \(x = -6\) — внутри отрезка.
Знак: при \(x \lt -6\) дробь больше 4, производная отрицательна; при \(x \gt -6\) — положительна. Смена «минус» на «плюс» — минимум.
\(y(-6) = -24 - 4\ln 1 + 6 = -18\) (\(\ln 1 = 0\)). Концы проверять не нужно: единственная критическая точка — минимум, значения на концах больше.

Ответ: \(-18\).

Лайфхак. Если единственная критическая точка на отрезке — минимум, то наименьшее значение в ней, а наибольшее — на одном из концов; если максимум — наоборот. Это экономит вычисления: для «наименьшего» с минимумом внутри концы считать не нужно.

Типичная ошибка. Записывают в ответ точку, а не значение: нашли \(x = -1\) и пишут \(-1\) вместо \(f(-1) = 10\). Перечитайте вопрос: «наибольшее значение» — это \(y\).

На ЕГЭ. Это главный тип задания 17 (2 балла): «Найдите наименьшее значение функции \(y = x^3 - 27x\) на отрезке \([0; 4]\)» — критическая точка 3, значение \(-54\). Функции с \(\ln\), \(e^x\), \(\sqrt{x}\) требуют табличных производных.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward