Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Алгоритм для отрезка \([a; b]\): 1) найти \(f'(x)\) и критические точки; 2) оставить те, что лежат внутри отрезка; 3) вычислить значения функции в них и на концах отрезка; 4) выбрать наибольшее и наименьшее. Если на отрезке единственная критическая точка и это максимум, вычисления на концах не нужны: максимум и будет наибольшим значением.

Пример. Найдите наименьшее значение функции \(y = x + \dfrac{36}{x}\) на отрезке \([1; 9]\).
Решение. \(y' = 1 - \dfrac{36}{x^2} = 0\) при \(x = 6\) (точка \(-6\) вне отрезка); знак меняется с «−» на «+» — минимум. \(y(6) = 6 + 6 = 12\).

Пример. Найдите наибольшее значение функции \(y = 12\cos x + 6\sqrt3 x - 2\sqrt3\pi + 6\) на отрезке \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).
Решение. \(y' = -12\sin x + 6\sqrt3 = 0\), \(\sin x = \dfrac{\sqrt3}{2}\), \(x = \dfrac{\pi}{3}\) — производная меняет знак с «+» на «−», максимум. \(y\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 6 + 2\sqrt3\pi - 2\sqrt3\pi + 6 = 12\).

Пример. Найдите наибольшее значение функции \(y = \ln(x + 5)^5 - 5x\) на отрезке \([-4{,}5; 0]\).
Решение. \(y = 5\ln(x + 5) - 5x\), \(y' = \dfrac{5}{x + 5} - 5 = 0\) при \(x = -4\); слева производная положительна, справа отрицательна — максимум. \(y(-4) = 5\ln 1 + 20 = 20\).