Прикладные задачи на наибольшее и наименьшее
Задание 17 требует построить модель: 1) выбрать переменную и её допустимые значения; 2) выразить оптимизируемую величину функцией этой переменной; 3) исследовать функцию производной, обосновав знаками, что найденная точка — максимум или минимум; 4) сформулировать ответ в терминах задачи (с единицами измерения).
| Сюжет | Функция |
|---|---|
| Коробка без крышки из квадратного листа со стороной \(a\) | \(V(x) = (a - 2x)^2 x\), \(0 \lt x \lt \dfrac{a}{2}\) |
| Прямоугольный участок у стены, забор длины \(L\) | \(S(x) = x(L - 2x)\), \(0 \lt x \lt \dfrac{L}{2}\) |
| Прибыль при цене \(p\) и издержках \(C(q)\) | \(\Pi(q) = pq - C(q)\) |
| Маршрут через поле и по дороге | \(T(x) = \dfrac{\sqrt{h^2 + x^2}}{v_1} + \dfrac{L - x}{v_2}\) |
| Мощность в нагрузке | \(P(R) = \dfrac{\varepsilon^2 R}{(r + R)^2}\) |
Пример. Генератор с ЭДС \(\varepsilon = 50\) В и внутренним сопротивлением \(r = 1\) Ом подключён к нагрузке \(R\). Мощность в нагрузке \(P = I^2R\), где \(I = \dfrac{\varepsilon}{r + R}\). Найдите наибольшую мощность.
Решение. \(P(R) = \dfrac{2500R}{(1 + R)^2}\), \(R \gt 0\). \(P'(R) = 2500 \cdot \dfrac{(1 + R)^2 - 2R(1 + R)}{(1 + R)^4} = 2500 \cdot \dfrac{1 - R}{(1 + R)^3}\): положительна при \(R \lt 1\), отрицательна при \(R \gt 1\), значит, \(R = 1\) — максимум. \(P(1) = 625\) Вт.
Пример. Из квадратного листа картона со стороной 60 см вырезают по углам квадраты и сгибают коробку. Какой должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объём коробки был наибольшим?
Решение. \(V(x) = (60 - 2x)^2 x\), \(0 \lt x \lt 30\). \(V'(x) = (60 - 2x)^2 - 4x(60 - 2x) = (60 - 2x)(60 - 6x)\); нуль внутри промежутка \(x = 10\), слева «+», справа «−». Ответ: 10 см.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward