Натуральные и целые числа. Деление с остатком
Натуральные числа — это числа для счёта: \(1, 2, 3, \dots\) Целые числа — натуральные, противоположные им и нуль: \(\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\) Почти вся тема о делимости держится на одном действии — делении с остатком. С него и начнём.
Формула. Любое целое число \(a\) можно единственным образом записать в виде \[a = bq + r, \qquad 0 \le r \lt b,\] где \(b\) — натуральный делитель, \(q\) — неполное частное, \(r\) — остаток. Если \(r = 0\), говорят, что \(a\) делится на \(b\) (или \(a\) кратно \(b\)).
Как это работает. Найдём остаток от деления числа 2027 на 7.
- Подбираем ближайшее кратное семи, не превосходящее 2027: \(7 \cdot 289 = 2023\).
- Вычитаем: \(2027 - 2023 = 4\). Проверяем, что остаток меньше делителя: \(4 \lt 7\).
- Записываем результат в виде формулы: \(2027 = 7 \cdot 289 + 4\). Ответ: 4.
Ещё пример. Найдите остаток от деления числа \(-17\) на 5.
Решение. Остаток по определению неотрицателен, поэтому ищем кратное пяти, которое меньше \(-17\): это \(-20\). Тогда \(-17 = 5 \cdot (-4) + 3\). Ответ: 3 (а не \(-2\) и не 2).
Лайфхак. Остаток не меняется, если к числу прибавить или от него отнять любое кратное делителя. Поэтому большое число удобно «сдвигать»: \(2027 - 2100 = -73\), \(-73 + 77 = 4\). Остаток от деления 2027 на 7 равен 4.
Типичная ошибка. Остаток 7 при делении на 7 невозможен: если «остаток» получился не меньше делителя, неполное частное нужно увеличить. Запись \(30 = 7 \cdot 3 + 9\) верна как равенство, но 9 — не остаток; правильно \(30 = 7 \cdot 4 + 2\).
На ЕГЭ. Деление с остатком — язык задания 20: «число при делении на 5 даёт остаток 3» записывают как \(n = 5k + 3\), и дальше работают с этой записью как с обычным выражением.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward