Свойства делимости: сумма, разность, произведение

11 заданий

Чтобы рассуждать о делимости выражения, не вычисляя его, нужны три свойства. Все они следуют из определения: \(a\) делится на \(m\), если \(a = mk\) при целом \(k\).

Правило. Пусть \(a\) и \(b\) делятся на \(m\). Тогда:
1) \(a + b\) и \(a - b\) делятся на \(m\);
2) \(a \cdot c\) делится на \(m\) при любом целом \(c\);
3) если \(a\) делится на \(m\), а \(m\) делится на \(n\), то \(a\) делится на \(n\).
Если же \(a\) делится на \(m\), а \(b\) не делится, то \(a + b\) не делится на \(m\).

Как это работает. Докажем, что \(n^3 - n\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).

Раскладываем на множители: \(n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)\,n\,(n + 1)\) — произведение трёх подряд идущих чисел.
Среди двух подряд идущих чисел одно чётное, значит, произведение делится на 2.
Среди трёх подряд идущих чисел одно делится на 3, значит, произведение делится на 3.
Число делится и на 2, и на 3, причём 2 и 3 не имеют общих делителей, поэтому оно делится на \(2 \cdot 3 = 6\). Что и требовалось.

Ещё пример. Сумма двух целых чисел делится на 7, одно из них делится на 7. Делится ли второе?
Решение. Второе число равно разности суммы и первого слагаемого. Оба делятся на 7, значит, делится и разность. Ответ: да.

Типичная ошибка. «Делится на 4 и на 6 — значит, делится на 24». Неверно: число 12 делится и на 4, и на 6, но не делится на 24. Перемножать делители можно, только если у них нет общих простых множителей (например, 4 и 9, 8 и 15).

На ЕГЭ. Разложение на множители вида \(n(n + 1)\) и «среди \(k\) подряд идущих чисел одно делится на \(k\)» — стандартный ход доказательств в задании 20.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward