Необходимое и достаточное условия. Кванторы

11 заданий

Если из \(A\) следует \(B\), то \(A\) — достаточное условие для \(B\), а \(B\) — необходимое условие для \(A\). Когда следование работает в обе стороны, условия называют необходимыми и достаточными, а утверждения — равносильными. Слова «для любого» и «существует» — кванторы — уточняют, о скольких объектах идёт речь.

Определения. \(A \Rightarrow B\): \(A\) достаточно для \(B\); \(B\) необходимо для \(A\). \(A \iff B\): необходимо и достаточно, «тогда и только тогда». \(\forall\) — «для любого», \(\exists\) — «существует». Отрицание \(\forall x\, P(x)\) — это \(\exists x\, \neg P(x)\); отрицание \(\exists x\, P(x)\) — это \(\forall x\, \neg P(x)\). Равносильные преобразования уравнений сохраняют множество решений; следствия могут добавить посторонние корни.

Как это работает. Разберём условия для утверждения «четырёхугольник — квадрат».

«Все стороны равны» — необходимо (у квадрата стороны равны), но не достаточно: ромб тоже подходит.
«Все углы прямые» — необходимо, но не достаточно: прямоугольник.
«Все стороны равны и все углы прямые» — необходимо и достаточно: это определение квадрата. Ответ: каждое условие по отдельности необходимо, вместе — необходимо и достаточно.

Ещё пример. Является ли условие \(D \gt 0\) необходимым, достаточным или и тем и другим для того, чтобы квадратное уравнение имело два различных действительных корня?
Решение. Если корня два — дискриминант положителен (необходимо); если дискриминант положителен — корня два (достаточно). Условие необходимое и достаточное. Ответ: необходимое и достаточное.

Лайфхак. «Достаточно» — стрелка идёт от условия к утверждению (\(A \Rightarrow B\): хватило \(A\)). «Необходимо» — стрелка приходит к условию (\(B \Rightarrow A\): без \(A\) не бывает). Чтобы не путать, подставляйте пример: «быть квадратом достаточно, чтобы быть ромбом; быть ромбом необходимо, чтобы быть квадратом».

Типичная ошибка. Необходимое условие принимают за достаточное: «\(f(0) = 0\) — значит, функция нечётная». Равенство \(f(0) = 0\) необходимо для нечётности, но не достаточно (\(f(x) = x^2\)).

На ЕГЭ. Задание 19 с симметрией — образец работы с условиями: из единственности решения следует \(x = 0\) (необходимое условие), а затем каждое найденное \(a\) проверяют (достаточность). Возведение в квадрат в задании 14 — переход к следствию, требующий проверки корней.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward