Следование, обратное утверждение и контрпример
Утверждение «если \(A\), то \(B\)» (импликация) ложно только в одном случае: \(A\) верно, а \(B\) нет. Обратное утверждение «если \(B\), то \(A\)» — другое высказывание, и из истинности прямого истинность обратного не следует. Опровергают общее утверждение одним контрпримером.
Правила. \(A \Rightarrow B\) ложно \(\iff\) \(A\) истинно и \(B\) ложно. Обратное: \(B \Rightarrow A\). Противоположное к обратному (контрапозиция) \(\neg B \Rightarrow \neg A\) равносильно исходному. Контрпример — конкретный объект, для которого \(A\) верно, а \(B\) нет; один контрпример опровергает утверждение «для всех». Чтобы доказать «для всех», примеров недостаточно — нужно рассуждение.
Как это работает. Верно ли утверждение «если число делится на 4, то оно делится на 2»? Верно ли обратное?
- Прямое: число, кратное 4, равно \(4k = 2 \cdot 2k\) — делится на 2. Истинно для всех чисел.
- Обратное: «если число делится на 2, то оно делится на 4». Контрпример: 6 делится на 2, но не на 4. Ложно.
- Ответ: прямое истинно, обратное ложно.
Ещё пример. Опровергните утверждение «при любом натуральном \(n\) число \(n^2 + n + 41\) простое».
Решение. При \(n = 40\): \(1600 + 40 + 41 = 1681 = 41^2\) — составное. Один контрпример достаточен (хотя при \(n\) от 1 до 39 числа действительно простые). Ответ: \(n = 40\).
Лайфхак. Чтобы проверить утверждение «если \(A\), то \(B\)», ищите объект с \(A\) без \(B\). Нашли — утверждение ложно; убедились, что такого объекта быть не может, — истинно. Истинность обратного проверяйте отдельно.
Типичная ошибка. Из «если число делится на 4, то делится на 2» делают вывод «если не делится на 4, то не делится на 2». Это неверно: 6 не делится на 4, но делится на 2. Равносильно исходному только «если не делится на 2, то не делится на 4».
На ЕГЭ. В задании 20 ответ «нет» требует доказательства, а ответ «да» — примера; утверждение «может ли…» опровергают рассуждением, а не перебором. В задании 19 «проверка кандидатов» — это поиск контрпримера к необходимому условию.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward