Непрерывные распределения: равномерное, показательное, нормальное
| Распределение | Смысл | \(EX\) | \(DX\) |
|---|---|---|---|
| Равномерное на \([a; b]\) | точка, брошенная наудачу на отрезок | \(\dfrac{a + b}{2}\) | \(\dfrac{(b - a)^2}{12}\) |
| Показательное с параметром \(\lambda\) | время ожидания, время жизни прибора | \(\dfrac{1}{\lambda}\) | \(\dfrac{1}{\lambda^2}\) |
| Нормальное \(N(\mu, \sigma)\) | ошибки измерений, рост, масса | \(\mu\) | \(\sigma^2\) |
Равномерное распределение: плотность постоянна и равна \(\dfrac{1}{b - a}\), вероятность попасть в часть отрезка пропорциональна её длине: для \(X\) на \([0; 10]\) \(P(2 \lt X \lt 5) = 0{,}3\). Показательное: \(P(X \gt t) = e^{-\lambda t}\); оно «не помнит прошлого»: \(P(X \gt s + t \mid X \gt s) = P(X \gt t)\), а \(P(X \gt 2t) = P(X \gt t)^2\).
Нормальное распределение со средним \(\mu\) и стандартным отклонением \(\sigma\): график плотности — симметричный «колокол» с осью \(x = \mu\). Отсюда \(P(X \lt \mu - a) = P(X \gt \mu + a)\) и \(P(X \gt \mu) = 0{,}5\). Около 68% значений лежат в пределах \(\mu \pm \sigma\), около 95% — в пределах \(\mu \pm 2\sigma\), около 99,7% — в пределах \(\mu \pm 3\sigma\).
Пример. Масса пачки масла распределена нормально со средним 500 г, \(P(X \lt 490) = 0{,}12\). Найдите \(P(490 \lt X \lt 510)\).
Решение. По симметрии \(P(X \gt 510) = 0{,}12\), поэтому искомая вероятность \(1 - 2 \cdot 0{,}12 = 0{,}76\).
Пример. Время работы лампы распределено показательно, \(P(X \gt 1000\ \text{ч}) = 0{,}6\). Найдите вероятность того, что лампа проработает больше 2000 часов.
Решение. \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Закрепите теорию: 13 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward