Схема Бернулли, биномиальное и геометрическое распределения

Схема Бернулли: \(n\) независимых испытаний, в каждом успех с вероятностью \(p\) и неудача с вероятностью \(q = 1 - p\). Вероятность ровно \(k\) успехов:

\[P_n(k) = C_n^k p^k q^{n - k}.\]

Число успехов \(X\) имеет биномиальное распределение \(B(n, p)\): \(EX = np\), \(DX = npq\). Номер первого успеха \(Y\) имеет геометрическое распределение: \(P(Y = k) = q^{k - 1}p\), \(EY = \dfrac1p\), \(DY = \dfrac{q}{p^2}\).

Пример. Монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.
Решение. \(C_4^2 \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}5^2 = 6 \cdot \dfrac{1}{16} = 0{,}375\).

Пример. Стрелок попадает с вероятностью 0,8. Найдите математическое ожидание числа попаданий при 25 выстрелах и дисперсию.
Решение. \(EX = 25 \cdot 0{,}8 = 20\), \(DX = 25 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 4\), \(\sigma = 2\).

Пример. Игральную кость бросают до первой шестёрки. Найдите среднее число бросков.
Решение. \(p = \dfrac16\), \(EY = 6\).