Случайная величина: распределение, ожидание, дисперсия

14 заданий

Случайная величина \(X\) принимает значения \(x_1, \ldots, x_k\) с вероятностями \(p_1, \ldots, p_k\), причём \(p_1 + \ldots + p_k = 1\); таблица значений и вероятностей — её распределение. Математическое ожидание — «среднее значение в долгой серии опытов»:

\[EX = x_1p_1 + \ldots + x_kp_k, \qquad DX = E(X - EX)^2 = EX^2 - (EX)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{DX}.\]

Пример. Выпущено 10 000 лотерейных билетов: 500 выигрышей по 100 рублей, 100 — по 1000, 50 — по 5000, 10 — по 10 000 и один — 50 000. Найдите математическое ожидание выигрыша на один билет.
Решение. \(E = \dfrac{500 \cdot 100 + 100 \cdot 1000 + 50 \cdot 5000 + 10 \cdot 10\,000 + 50\,000}{10\,000} = \dfrac{550\,000}{10\,000} = 55\) рублей.

Пример. Найдите дисперсию числа очков при броске игральной кости.
Решение. \(EX = \dfrac{1 + 2 + \ldots + 6}{6} = 3{,}5\); \(EX^2 = \dfrac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \dfrac{91}{6}\); \(DX = \dfrac{91}{6} - 12{,}25 = \dfrac{35}{12}\).

Свойство	Формула
Линейность ожидания	\(E(aX + b) = aEX + b\), \(E(X + Y) = EX + EY\)
Дисперсия линейной функции	\(D(aX + b) = a^2 DX\), \(\sigma(aX + b) = \|a\|\sigma(X)\)
Независимые \(X\), \(Y\)	\(D(X \pm Y) = DX + DY\), \(E(XY) = EX \cdot EY\)

Ловушка ЕГЭ. \(D(X - Y) = DX + DY\), а не разность: вычитание независимой случайной величины разброс только увеличивает. Константа внутри дисперсии пропадает, множитель выходит в квадрате.

Как это спрашивают на ЕГЭ. Задание 6 (новое в 2027 г.): по таблице распределения найти ожидание или дисперсию, по ожиданию найти неизвестную вероятность, найти \(E(3X - 2)\) или \(D(2X + 5)\) по известным \(EX\), \(DX\).

Закрепите теорию: 14 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward