Формула полной вероятности и формула Байеса

Если \(H_1, \ldots, H_k\) — несовместные гипотезы, покрывающие все исходы (например, «деталь с первого завода» и «со второго»), то

\[P(A) = P(H_1)P(A \mid H_1) + \ldots + P(H_k)P(A \mid H_k).\]

Удобно рисовать дерево: на ветвях — вероятности, вероятность пути — произведение вдоль ветвей, вероятность события — сумма путей, ведущих к нему. Формула Байеса отвечает на «обратный» вопрос: если событие \(A\) произошло, какова вероятность, что причиной была гипотеза \(H_1\): \(P(H_1 \mid A) = \dfrac{P(H_1)P(A \mid H_1)}{P(A)}\).

Пример. 20% батареек неисправны. Контроль бракует неисправную с вероятностью 0,95, а исправную — по ошибке с вероятностью 0,05. Найдите вероятность того, что случайная батарейка будет забракована.
Решение. \(0{,}2 \cdot 0{,}95 + 0{,}8 \cdot 0{,}05 = 0{,}19 + 0{,}04 = 0{,}23\).

Пример. Батарейка забракована. Какова вероятность, что она действительно неисправна?
Решение. По формуле Байеса \(\dfrac{0{,}19}{0{,}23} \approx 0{,}83\).

Пример. Если сегодня хорошая погода, то завтра с вероятностью 0,8 тоже хорошая, а если плохая — то завтра хорошая с вероятностью 0,3. 1 июня погода хорошая. Найдите вероятность того, что 3 июня погода будет хорошей.
Решение. Пути «хорошая — хорошая — хорошая» \(0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64\) и «хорошая — плохая — хорошая» \(0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}06\). Ответ: \(0{,}7\).