Сложение и умножение вероятностей

События несовместны, если не могут произойти одновременно; тогда \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\). В общем случае

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).\]

События независимы, если наступление одного не меняет вероятность другого; тогда \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). Условная вероятность \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\) — вероятность \(A\) при условии, что \(B\) произошло; отсюда \(P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)\).

Пример. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94, а меньше 15 — 0,56. Найдите вероятность того, что пассажиров будет от 15 до 19.
Решение. Событие «меньше 20» — объединение несовместных «меньше 15» и «от 15 до 19»: \(0{,}94 - 0{,}56 = 0{,}38\).

Пример. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что из четырёх выстрелов он попадёт в первые два и промахнётся в последние два.
Решение. Выстрелы независимы: \(0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}0081\).

Пример. В магазине два автомата с кофе. Вероятность, что к вечеру закончится кофе в первом, равна 0,3, во втором — тоже 0,3, а в обоих — 0,12. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.
Решение. Хотя бы в одном закончится: \(0{,}3 + 0{,}3 - 0{,}12 = 0{,}48\). Останется в обоих: \(1 - 0{,}48 = 0{,}52\).