Неравенства с корнем: два случая

Возводить в квадрат можно только неравенство с неотрицательными частями, поэтому знак правой части разбирают отдельно:

\[\sqrt{f} \lt g \iff \begin{cases} f \ge 0, \\ g \gt 0, \\ f \lt g^2; \end{cases} \qquad \sqrt{f} \gt g \iff \left[\begin{array}{l} \begin{cases} g \lt 0, \\ f \ge 0; \end{cases} \\ \begin{cases} g \ge 0, \\ f \gt g^2. \end{cases} \end{array}\right.\]

Для нестрогих знаков в последних неравенствах ставят \(\le\) и \(\ge\). Неравенство \(\sqrt{f} \lt \sqrt{g}\) равносильно \(0 \le f \lt g\).

Пример. Решите неравенство \(\sqrt{x + 3} \gt x + 1\).
Решение. Если \(x + 1 \lt 0\), неравенство верно при \(x \ge -3\): \([-3; -1)\). Если \(x \ge -1\): \(x + 3 \gt x^2 + 2x + 1\), \(x^2 + x - 2 \lt 0\), \(-2 \lt x \lt 1\), с учётом условия \([-1; 1)\). Ответ: \([-3; 1)\).

Пример. Решите неравенство \(\sqrt{2x - 1} \le x - 2\).
Решение. \(x \ge 2\) и \(2x - 1 \le x^2 - 4x + 4\), то есть \(x^2 - 6x + 5 \ge 0\): \(x \le 1\) или \(x \ge 5\). С условием \(x \ge 2\): ответ \([5; +\infty)\). Условие \(2x - 1 \ge 0\) выполнено автоматически при \(x \ge 5\).