Рационализация корней и произведение с корнем

Замена множителя. На ОДЗ (\(f \ge 0\), \(g \ge 0\)) знак разности \(\sqrt{f} - \sqrt{g}\) совпадает со знаком \(f - g\), а знак \(\sqrt{f} - g\) при \(g \ge 0\) — со знаком \(f - g^2\). Это позволяет решать неравенства методом интервалов вместо разбора случаев.

Пример. Решите неравенство \(\dfrac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{3x - 4}}{x - 5} \ge 0\).
Решение. ОДЗ: \(x \ge \dfrac43\), \(x \ne 5\). Заменяем числитель на \((x + 2) - (3x - 4) = 6 - 2x\): \(\dfrac{6 - 2x}{x - 5} \ge 0\), то есть \(\dfrac{x - 3}{x - 5} \le 0\): \(3 \le x \lt 5\). Пересечение с ОДЗ даёт ответ \([3; 5)\).

Произведение с корнем. Неравенство \(\sqrt{f(x)} \cdot g(x) \ge 0\) выполняется, когда \(f(x) = 0\) (произведение равно нулю) или когда \(f(x) \gt 0\) и \(g(x) \ge 0\). Про точки, где корень обращается в нуль, часто забывают.

Пример. Решите неравенство \((x^2 - 5x + 4)\sqrt{x - 2} \le 0\).
Решение. Либо \(x = 2\) (корень равен нулю), либо \(x \gt 2\) и \((x - 1)(x - 4) \le 0\), то есть \(2 \lt x \le 4\). Ответ: \(\{2\} \cup (2; 4] = [2; 4]\).