Неравенства с модулем

11 заданий

Модуль \(|x - a|\) — расстояние от точки \(x\) до точки \(a\). Поэтому \(|x - a| \lt b\) означает, что \(x\) ближе к \(a\), чем \(b\), а \(|x - a| \gt b\) — дальше. Для более сложных неравенств модуль раскрывают по определению или возводят обе части в квадрат, если они неотрицательны.

Правила (\(b \gt 0\)): \[|f(x)| \lt b \iff -b \lt f(x) \lt b; \qquad |f(x)| \gt b \iff f(x) \lt -b \text{ или } f(x) \gt b.\] \(|f(x)| \lt g(x) \iff -g(x) \lt f(x) \lt g(x)\); \(|f(x)| \gt g(x) \iff f(x) \gt g(x)\) или \(f(x) \lt -g(x)\). Для \(|f| \lt |g|\): возвести в квадрат, \(f^2 - g^2 \lt 0\), \((f - g)(f + g) \lt 0\).

Как это работает. Решим неравенство \(|3x + 2| \le 5\) и найдём число его целых решений.

Раскрываем по правилу: \(-5 \le 3x + 2 \le 5\).
Вычитаем 2 и делим на 3: \(-7 \le 3x \le 3\), \(-\dfrac73 \le x \le 1\).
Целые решения: \(-2, -1, 0, 1\) — четыре числа. Ответ: \(\left[-\dfrac73; 1\right]\); 4 целых решения.

Ещё пример. Решите неравенство \(|x - 1| \gt 2x - 1\).
Решение. Либо \(x - 1 \gt 2x - 1\), откуда \(x \lt 0\); либо \(x - 1 \lt -(2x - 1)\), откуда \(3x \lt 2\), \(x \lt \dfrac23\). Объединение: \(x \lt \dfrac23\). Проверка при \(x = 0{,}5\): \(0{,}5 \gt 0\) — верно. Ответ: \(\left(-\infty; \dfrac23\right)\).

Лайфхак. Для \(|x - a| \lt b\) ответ — интервал \((a - b; a + b)\) с центром \(a\) и радиусом \(b\): \(|x - 3| \lt 2\) даёт \((1; 5)\). Для \(|x - a| \gt b\) — всё, кроме отрезка \([a - b; a + b]\).

Типичная ошибка. Из \(|x| \gt 3\) получают \(x \gt 3\), теряя \(x \lt -3\). Модуль больше числа — две части прямой, модуль меньше числа — один промежуток.

На ЕГЭ. Неравенства с модулем встречаются в задании 15 и в задании 19: условие \(|x - a| \lt 2\) задаёт интервал длины 4 с центром в параметре, и задача сводится к расположению этого интервала относительно корней.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward