Дробно-рациональные неравенства
Дробь имеет знак произведения числителя и знаменателя, поэтому неравенство \(\dfrac{P(x)}{Q(x)} \gt 0\) решают методом интервалов для \(P(x) \cdot Q(x)\). Единственная особенность — нули знаменателя всегда выколоты: делить на нуль нельзя.
Алгоритм. 1) Перенести всё в одну часть и привести к одной дроби — не умножать на знаменатель, знак которого неизвестен. 2) Разложить числитель и знаменатель на множители. 3) Отметить нули числителя (закрашенные при нестрогом неравенстве) и нули знаменателя (всегда выколотые). 4) Расставить знаки и выписать ответ.
Как это работает. Решим неравенство \(\dfrac{x - 3}{x + 2} \le 0\).
- Нули: числитель — \(x = 3\) (закрашена), знаменатель — \(x = -2\) (выколота).
- Справа от 3 оба множителя положительны — плюс; на \((-2; 3)\) — минус; левее \(-2\) — плюс.
- Нужен минус или нуль: \((-2; 3]\). Ответ: \((-2; 3]\).
Ещё пример. Решите неравенство \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} \ge 1\).
Решение. Переносим: \(\dfrac{2x + 1}{x - 1} - 1 \ge 0\), \(\dfrac{2x + 1 - x + 1}{x - 1} \ge 0\), \(\dfrac{x + 2}{x - 1} \ge 0\). Нули: \(-2\) (закрашена), \(1\) (выколота). Знаки: плюс правее 1, минус на \((-2; 1)\), плюс левее \(-2\). Ответ: \((-\infty; -2] \cup (1; +\infty)\).
Лайфхак. Умножать неравенство на знаменатель можно, только если его знак известен (например, \(x^2 + 1 \gt 0\)). Во всех остальных случаях — перенос и общая дробь. Это правило отличает неравенства от уравнений, где умножение на знаменатель допустимо.
Типичная ошибка. Закрашивают нуль знаменателя при нестрогом неравенстве: пишут \([-2; 3]\) вместо \((-2; 3]\). В точке \(x = -2\) дробь не определена и не может удовлетворять никакому неравенству.
На ЕГЭ. Дробно-рациональные неравенства — стандартный финал задания 15: после замены \(t = 2^x\) получается \(\dfrac{t - 4}{t - 1} \le 0\), а затем возвращаются к \(x\). Выколотые точки знаменателя становятся выколотыми точками в ответе.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward