Кратные корни и множители чётной степени

11 заданий

Если множитель входит в произведение в чётной степени, при переходе через его корень знак произведения не меняется: квадрат неотрицателен. При нечётной степени знак меняется как для простого корня. Эти случаи требуют внимания к самой точке корня: в ней произведение равно нулю.

Правило. Через корень множителя \((x - x_0)^{2n}\) знак не меняется; через корень \((x - x_0)^{2n + 1}\) — меняется. Для строгого неравенства точка кратного корня выкалывается; для нестрогого — включается в ответ, даже если соседние интервалы не подходят (получается изолированная точка).

Как это работает. Решим неравенство \((x - 1)^2(x + 3) \le 0\).

Нули: \(x = 1\) (кратности 2) и \(x = -3\) (простой). Обе точки закрашены (неравенство нестрогое).
Справа от 1 знак плюс. Через 1 знак не меняется: на \((-3; 1)\) тоже плюс. Через \(-3\) меняется: на \((-\infty; -3)\) минус.
Нужно \(\le 0\): интервал \((-\infty; -3]\) и отдельно точка \(x = 1\), где выражение равно нулю. Ответ: \((-\infty; -3] \cup \{1\}\).

Ещё пример. Решите неравенство \(\dfrac{(x - 2)^2}{x + 1} \gt 0\).
Решение. Числитель неотрицателен и равен нулю при \(x = 2\); знаменатель положителен при \(x \gt -1\). Дробь положительна при \(x \gt -1\), кроме \(x = 2\), где она равна нулю. Ответ: \((-1; 2) \cup (2; +\infty)\).

Лайфхак. Над кратным корнем рисуйте «петлю» — кривая знаков касается оси и возвращается на ту же сторону. Так наглядно видно, что знак сохранился, и не забывается отдельная точка в ответе нестрогого неравенства.

Типичная ошибка. Теряют изолированную точку: для \((x - 1)^2(x + 3) \le 0\) пишут только \((-\infty; -3]\). Но при \(x = 1\) левая часть равна нулю, а нуль удовлетворяет условию \(\le 0\).

На ЕГЭ. Изолированная точка в ответе задания 15 — частая «ловушка на балл»: эксперт проверяет, учтена ли она. Квадраты возникают после рационализации: \((x - 1)^2\) из \(\log_2^2\ldots\) или из \((a - 1)(f - g)\) при совпадении множителей.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward