Неравенства sin x > a и sin x < a

11 заданий

Тригонометрическое неравенство решают на единичной окружности: условие \(\sin x \gt a\) выделяет точки с ординатой больше \(a\) — дугу выше горизонтальной прямой \(y = a\). Ответ — промежуток углов этой дуги, повторяющийся с периодом \(2\pi\).

Алгоритм. 1) Провести прямую \(y = a\), отметить точки пересечения с окружностью: углы \(\arcsin a\) и \(\pi - \arcsin a\). 2) Выделить дугу: для \(\sin x \gt a\) — верхнюю (над прямой), для \(\sin x \lt a\) — нижнюю. 3) Записать углы концов дуги так, чтобы обход шёл против часовой стрелки от меньшего угла к большему. 4) Прибавить \(2\pi k\). Для \(|a| \ge 1\) проверить особые случаи: \(\sin x \lt 1\) выполняется при \(x \ne \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(\sin x \gt 1\) — никогда.

Как это работает. Решим неравенство \(\sin x \gt \dfrac12\).

Прямая \(y = \dfrac12\) пересекает окружность в точках с углами \(\dfrac{\pi}{6}\) и \(\dfrac{5\pi}{6}\).
Нужна дуга выше прямой — от \(\dfrac{\pi}{6}\) до \(\dfrac{5\pi}{6}\) против часовой стрелки. Концы не включены (неравенство строгое).
Ответ: \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \lt x \lt \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb Z\).

Ещё пример. Решите неравенство \(\sin x \le -\dfrac{\sqrt2}{2}\).
Решение. Точки с ординатой \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\): углы \(-\dfrac{\pi}{4}\) и \(-\dfrac{3\pi}{4}\) (то есть \(\dfrac{5\pi}{4}\)). Нужна нижняя дуга от \(\dfrac{5\pi}{4}\) до \(\dfrac{7\pi}{4}\), концы включены. Ответ: \(\dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \dfrac{7\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb Z\).

Лайфхак. Записывайте дугу так, чтобы левый конец был меньше правого: нижнюю дугу для синуса удобно записать как \(\left[-\dfrac{3\pi}{4}; -\dfrac{\pi}{4}\right]\) или как \(\left[\dfrac{5\pi}{4}; \dfrac{7\pi}{4}\right]\) — оба варианта верны, но запись «\(\dfrac{5\pi}{4} \le x \le -\dfrac{\pi}{4}\)» — ошибка.

Типичная ошибка. Записывают ответ как для уравнения — две отдельные серии точек — вместо промежутка между ними. Решение неравенства — дуга, а не её концы.

На ЕГЭ. Тригонометрические неравенства в чистом виде в КИМ профиля не входят, но нужны в задании 14 для отбора корней по условию вида \(\sin x \gt 0\) (ОДЗ корня или логарифма) и при решении уравнений с \(\sqrt{\sin x}\).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward