Неравенства cos x > a и cos x < a
Для косинуса роль граничной прямой играет вертикальная прямая \(x = a\): условие \(\cos x \gt a\) выделяет дугу правее неё, \(\cos x \lt a\) — дугу левее. Правая дуга симметрична относительно оси абсцисс, поэтому её удобно записывать от отрицательного угла до положительного.
Правило. Точки пересечения: \(\pm\arccos a\). \[\cos x \gt a \iff -\arccos a + 2\pi k \lt x \lt \arccos a + 2\pi k;\] \[\cos x \lt a \iff \arccos a + 2\pi k \lt x \lt 2\pi - \arccos a + 2\pi k.\] Для нестрогих неравенств концы включаются.
Как это работает. Решим неравенство \(\cos x \le -\dfrac12\).
- \(\arccos\left(-\dfrac12\right) = \dfrac{2\pi}{3}\); точки пересечения с прямой \(x = -\dfrac12\) — углы \(\dfrac{2\pi}{3}\) и \(-\dfrac{2\pi}{3}\) (то есть \(\dfrac{4\pi}{3}\)).
- Нужна дуга левее прямой — от \(\dfrac{2\pi}{3}\) до \(\dfrac{4\pi}{3}\) против часовой стрелки, концы включены.
- Ответ: \(\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb Z\).
Ещё пример. Решите неравенство \(2\cos x - \sqrt3 \gt 0\).
Решение. \(\cos x \gt \dfrac{\sqrt3}{2}\); \(\arccos\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{\pi}{6}\). Правая дуга: \(-\dfrac{\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{\pi}{6}\). Ответ: \(-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \lt x \lt \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb Z\).
Лайфхак. Суммарная длина дуги, на которой \(\cos x \gt a\), равна \(2\arccos a\); дуги, на которой \(\cos x \lt a\), — \(2\pi - 2\arccos a\). Это помогает проверить ответ: длины двух дуг в сумме дают \(2\pi\).
Типичная ошибка. Для \(\cos x \gt a\) берут дугу от \(\arccos a\) до \(2\pi - \arccos a\) — это левая дуга, где косинус меньше \(a\). Правая дуга проходит через точку \((1; 0)\), то есть через угол 0.
На ЕГЭ. Условие \(\cos x \le 0\) (левая половина окружности) — типичная ОДЗ в задании 14 с \(\sqrt{-\cos x}\); его решение \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k\) нужно уметь записать и изобразить.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward