Неравенства с тангенсом. Сложный аргумент

Тангенс возрастает на каждом промежутке \(\left(-\dfrac{\pi}{2} + \pi k; \dfrac{\pi}{2} + \pi k\right)\), поэтому неравенство \(\operatorname{tg} x \gt a\) решают на одном таком промежутке и добавляют период \(\pi\). Неравенства со сложным аргументом решают относительно аргумента, а затем выражают \(x\).

Как это работает. Решим неравенство \(\operatorname{tg} x \ge 1\).

1. \(\operatorname{arctg} 1 = \dfrac{\pi}{4}\). На промежутке \(\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)\) тангенс не меньше 1 при \(x \ge \dfrac{\pi}{4}\), то есть на \(\left[\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}\right)\).
2. Прибавляем период \(\pi\).
3. Ответ: \(\dfrac{\pi}{4} + \pi k \le x \lt \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbb Z\).

Ещё пример. Решите неравенство \(\sin 2x \lt \dfrac12\) и найдите суммарную длину промежутков решений на отрезке \([0; \pi]\).
Решение. Для \(t = 2x\): \(\sin t \lt \dfrac12\) при \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \lt t \lt \dfrac{13\pi}{6} + 2\pi k\). Делим на 2: \(\dfrac{5\pi}{12} + \pi k \lt x \lt \dfrac{13\pi}{12} + \pi k\). На \([0; \pi]\): при \(k = -1\) промежуток \(\left[0; \dfrac{\pi}{12}\right)\), при \(k = 0\) — \(\left(\dfrac{5\pi}{12}; \pi\right]\). Длина \(\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{2\pi}{3}\), то есть \(120^\circ\). Ответ: \(\dfrac{2\pi}{3}\).