Неравенства с синусом и косинусом

Простейшие неравенства решают на единичной окружности: отмечают точки, где функция равна \(a\), выделяют дугу, на которой неравенство выполнено, и записывают её концы, двигаясь против часовой стрелки, а затем добавляют период \(2\pi k\).

Пример. Решите неравенство \(\sin x \ge \dfrac12\).
Решение. Синус — ордината; точки с ординатой \(\dfrac12\): \(\dfrac{\pi}{6}\) и \(\dfrac{5\pi}{6}\). Нужна верхняя дуга между ними: \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\).

Пример. Решите неравенство \(\cos x \lt \dfrac{\sqrt2}{2}\).
Решение. Косинус — абсцисса; нужна дуга левее прямой \(x = \dfrac{\sqrt2}{2}\), от \(\dfrac{\pi}{4}\) до \(\dfrac{7\pi}{4}\): \(\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \lt x \lt \dfrac{7\pi}{4} + 2\pi k\).

Пример. Решите неравенство \(\sin x \lt -\dfrac{\sqrt3}{2}\).
Решение. Точки \(-\dfrac{\pi}{3}\) и \(-\dfrac{2\pi}{3}\); нижняя дуга между ними, идём против часовой стрелки от \(-\dfrac{2\pi}{3}\) к \(-\dfrac{\pi}{3}\): \(-\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \lt x \lt -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\).