Неравенства с тангенсом и сложным аргументом

Тангенс имеет период \(\pi\) и возрастает на каждом промежутке \(\left(-\dfrac{\pi}{2} + \pi k; \dfrac{\pi}{2} + \pi k\right)\). Поэтому \(\operatorname{tg} x \gt a\) \(\iff\) \(\operatorname{arctg} a + \pi k \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), а \(\operatorname{tg} x \lt a\) \(\iff\) \(-\dfrac{\pi}{2} + \pi k \lt x \lt \operatorname{arctg} a + \pi k\).

Пример. Решите неравенство \(\operatorname{tg} x \le \sqrt3\).
Решение. \(-\dfrac{\pi}{2} + \pi k \lt x \le \dfrac{\pi}{3} + \pi k\). Левый конец всегда строгий: там тангенс не определён.

Если аргумент сложный, решают относительно него, а затем делят или сдвигают.

Пример. Решите неравенство \(\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \ge 0\).
Решение. \(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x - \dfrac{\pi}{3} \le \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\); прибавим \(\dfrac{\pi}{3}\): \(-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \le 2x \le \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\); разделим на 2: \(-\dfrac{\pi}{12} + \pi k \le x \le \dfrac{5\pi}{12} + \pi k\).

Неравенство, содержащее одну функцию в разных степенях, решают заменой и методом интервалов: \(2\sin^2 x - \sin x \lt 0\) \(\Rightarrow\) \(\sin x(2\sin x - 1) \lt 0\) \(\Rightarrow\) \(0 \lt \sin x \lt \dfrac12\); затем — на окружности.