Неравенство √f(x) < g(x)
Корень меньше выражения: обе части неотрицательны (корень — по определению, правая часть — потому что больше корня), поэтому их можно возвести в квадрат. Но нельзя забывать, что подкоренное выражение должно существовать: условие \(f(x) \ge 0\) здесь уже не следует из остальных.
Правило. \[\sqrt{f(x)} \lt g(x) \iff \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) \gt 0, \\ f(x) \lt g^2(x). \end{cases}\] Для нестрогого неравенства \(\sqrt{f} \le g\): \(f \ge 0\), \(g \ge 0\), \(f \le g^2\). Все три условия обязательны.
Как это работает. Решим неравенство \(\sqrt{x + 3} \lt x + 1\).
- Система: \(x + 3 \ge 0\), \(x + 1 \gt 0\), \(x + 3 \lt (x + 1)^2\). Первые два дают \(x \gt -1\).
- Третье: \(x + 3 \lt x^2 + 2x + 1\), \(x^2 + x - 2 \gt 0\), \((x + 2)(x - 1) \gt 0\), то есть \(x \lt -2\) или \(x \gt 1\).
- Пересекаем с \(x \gt -1\): остаётся \(x \gt 1\). Проверка при \(x = 6\): \(3 \lt 7\). Ответ: \((1; +\infty)\).
Ещё пример. Сколько целых решений имеет неравенство \(\sqrt{x + 1} \le 1\)?
Решение. \(x + 1 \ge 0\) и \(x + 1 \le 1\): \(-1 \le x \le 0\). Целые решения: \(-1\) и \(0\). Ответ: 2.
Лайфхак. Если правая часть — число \(b \gt 0\), система короче: \(0 \le f(x) \lt b^2\). Если \(b \le 0\), решений нет: неотрицательный корень не может быть меньше неположительного числа.
Типичная ошибка. Забывают условие \(f(x) \ge 0\) и получают лишние решения, при которых корень не существует. В неравенствах, в отличие от уравнений, это условие не следует из возведения в квадрат.
На ЕГЭ. Задание 15 с корнем встречается реже логарифмического, но правило нужно знать и для нахождения области определения в заданиях 14, 15, 17. Ответ записывают промежутком, а не перечислением.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward